Metamath Proof Explorer

Theorem bnj967

Description: Technical lemma for bnj69 . This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses bnj967.2 
|- ( ps <-> A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) )
bnj967.3 
|- ( ch <-> ( n e. D /\ f Fn n /\ ph /\ ps ) )
bnj967.10 
|- D = ( _om \ { (/) } )
bnj967.12 
|- C = U_ y e. ( f ` m ) _pred ( y , A , R )
bnj967.13 
|- G = ( f u. { <. n , C >. } )
bnj967.44 
|- ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) ) -> C e. _V )
Assertion bnj967 
|- ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p /\ suc i e. n ) ) -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 bnj967.2 
 |-  ( ps <-> A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) )
2 bnj967.3 
 |-  ( ch <-> ( n e. D /\ f Fn n /\ ph /\ ps ) )
3 bnj967.10 
 |-  D = ( _om \ { (/) } )
4 bnj967.12 
 |-  C = U_ y e. ( f ` m ) _pred ( y , A , R )
5 bnj967.13 
 |-  G = ( f u. { <. n , C >. } )
6 bnj967.44 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) ) -> C e. _V )
7 6 3adant3 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p /\ suc i e. n ) ) -> C e. _V )
8 2 bnj1235 
 |-  ( ch -> f Fn n )
9 8 3ad2ant1 
 |-  ( ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) -> f Fn n )
10 9 3ad2ant2 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p /\ suc i e. n ) ) -> f Fn n )
11 simp23 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p /\ suc i e. n ) ) -> p = suc n )
12 simp3 
 |-  ( ( i e. _om /\ suc i e. p /\ suc i e. n ) -> suc i e. n )
13 12 3ad2ant3 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p /\ suc i e. n ) ) -> suc i e. n )
14 7 10 11 13 bnj951 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p /\ suc i e. n ) ) -> ( C e. _V /\ f Fn n /\ p = suc n /\ suc i e. n ) )
15 3 bnj923 
 |-  ( n e. D -> n e. _om )
16 2 15 bnj769 
 |-  ( ch -> n e. _om )
17 16 3ad2ant1 
 |-  ( ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) -> n e. _om )
18 17 12 bnj240 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p /\ suc i e. n ) ) -> ( n e. _om /\ suc i e. n ) )
19 nnord 
 |-  ( n e. _om -> Ord n )
20 ordtr 
 |-  ( Ord n -> Tr n )
21 19 20 syl 
 |-  ( n e. _om -> Tr n )
22 trsuc 
 |-  ( ( Tr n /\ suc i e. n ) -> i e. n )
23 21 22 sylan 
 |-  ( ( n e. _om /\ suc i e. n ) -> i e. n )
24 18 23 syl 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p /\ suc i e. n ) ) -> i e. n )
25 bnj658 
 |-  ( ( C e. _V /\ f Fn n /\ p = suc n /\ suc i e. n ) -> ( C e. _V /\ f Fn n /\ p = suc n ) )
26 25 anim1i 
 |-  ( ( ( C e. _V /\ f Fn n /\ p = suc n /\ suc i e. n ) /\ i e. n ) -> ( ( C e. _V /\ f Fn n /\ p = suc n ) /\ i e. n ) )
27 df-bnj17 
 |-  ( ( C e. _V /\ f Fn n /\ p = suc n /\ i e. n ) <-> ( ( C e. _V /\ f Fn n /\ p = suc n ) /\ i e. n ) )
28 26 27 sylibr 
 |-  ( ( ( C e. _V /\ f Fn n /\ p = suc n /\ suc i e. n ) /\ i e. n ) -> ( C e. _V /\ f Fn n /\ p = suc n /\ i e. n ) )
29 14 24 28 syl2anc 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p /\ suc i e. n ) ) -> ( C e. _V /\ f Fn n /\ p = suc n /\ i e. n ) )
30 5 bnj945 
 |-  ( ( C e. _V /\ f Fn n /\ p = suc n /\ i e. n ) -> ( G ` i ) = ( f ` i ) )
31 29 30 syl 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p /\ suc i e. n ) ) -> ( G ` i ) = ( f ` i ) )
32 5 bnj945 
 |-  ( ( C e. _V /\ f Fn n /\ p = suc n /\ suc i e. n ) -> ( G ` suc i ) = ( f ` suc i ) )
33 14 32 syl 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p /\ suc i e. n ) ) -> ( G ` suc i ) = ( f ` suc i ) )
34 3simpb 
 |-  ( ( i e. _om /\ suc i e. p /\ suc i e. n ) -> ( i e. _om /\ suc i e. n ) )
35 34 3ad2ant3 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p /\ suc i e. n ) ) -> ( i e. _om /\ suc i e. n ) )
36 2 bnj1254 
 |-  ( ch -> ps )
37 36 3ad2ant1 
 |-  ( ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) -> ps )
38 37 3ad2ant2 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p /\ suc i e. n ) ) -> ps )
39 31 33 35 38 bnj951 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p /\ suc i e. n ) ) -> ( ( G ` i ) = ( f ` i ) /\ ( G ` suc i ) = ( f ` suc i ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. n ) /\ ps ) )
40 4 5 bnj958 
 |-  ( ( G ` i ) = ( f ` i ) -> A. y ( G ` i ) = ( f ` i ) )
41 1 40 bnj953 
 |-  ( ( ( G ` i ) = ( f ` i ) /\ ( G ` suc i ) = ( f ` suc i ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. n ) /\ ps ) -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) )
42 39 41 syl 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p /\ suc i e. n ) ) -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) )