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Theorem bnj983

Description: Technical lemma for bnj69 . This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses bnj983.1 
|- ( ph <-> ( f ` (/) ) = _pred ( X , A , R ) )
bnj983.2 
|- ( ps <-> A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) )
bnj983.3 
|- D = ( _om \ { (/) } )
bnj983.4 
|- B = { f | E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) }
bnj983.5 
|- ( ch <-> ( n e. D /\ f Fn n /\ ph /\ ps ) )
Assertion bnj983 
|- ( Z e. _trCl ( X , A , R ) <-> E. f E. n E. i ( ch /\ i e. n /\ Z e. ( f ` i ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 bnj983.1 
 |-  ( ph <-> ( f ` (/) ) = _pred ( X , A , R ) )
2 bnj983.2 
 |-  ( ps <-> A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) )
3 bnj983.3 
 |-  D = ( _om \ { (/) } )
4 bnj983.4 
 |-  B = { f | E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) }
5 bnj983.5 
 |-  ( ch <-> ( n e. D /\ f Fn n /\ ph /\ ps ) )
6 1 2 3 4 bnj882 
 |-  _trCl ( X , A , R ) = U_ f e. B U_ i e. dom f ( f ` i )
7 6 eleq2i 
 |-  ( Z e. _trCl ( X , A , R ) <-> Z e. U_ f e. B U_ i e. dom f ( f ` i ) )
8 eliun 
 |-  ( Z e. U_ f e. B U_ i e. dom f ( f ` i ) <-> E. f e. B Z e. U_ i e. dom f ( f ` i ) )
9 eliun 
 |-  ( Z e. U_ i e. dom f ( f ` i ) <-> E. i e. dom f Z e. ( f ` i ) )
10 9 rexbii 
 |-  ( E. f e. B Z e. U_ i e. dom f ( f ` i ) <-> E. f e. B E. i e. dom f Z e. ( f ` i ) )
11 8 10 bitri 
 |-  ( Z e. U_ f e. B U_ i e. dom f ( f ` i ) <-> E. f e. B E. i e. dom f Z e. ( f ` i ) )
12 df-rex 
 |-  ( E. f e. B E. i e. dom f Z e. ( f ` i ) <-> E. f ( f e. B /\ E. i e. dom f Z e. ( f ` i ) ) )
13 4 abeq2i 
 |-  ( f e. B <-> E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) )
14 13 anbi1i 
 |-  ( ( f e. B /\ E. i e. dom f Z e. ( f ` i ) ) <-> ( E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ E. i e. dom f Z e. ( f ` i ) ) )
15 14 exbii 
 |-  ( E. f ( f e. B /\ E. i e. dom f Z e. ( f ` i ) ) <-> E. f ( E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ E. i e. dom f Z e. ( f ` i ) ) )
16 12 15 bitri 
 |-  ( E. f e. B E. i e. dom f Z e. ( f ` i ) <-> E. f ( E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ E. i e. dom f Z e. ( f ` i ) ) )
17 7 11 16 3bitri 
 |-  ( Z e. _trCl ( X , A , R ) <-> E. f ( E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ E. i e. dom f Z e. ( f ` i ) ) )
18 bnj252 
 |-  ( ( n e. D /\ f Fn n /\ ph /\ ps ) <-> ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) )
19 5 18 bitri 
 |-  ( ch <-> ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) )
20 19 exbii 
 |-  ( E. n ch <-> E. n ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) )
21 20 anbi1i 
 |-  ( ( E. n ch /\ E. i ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) ) <-> ( E. n ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) /\ E. i ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) ) )
22 df-rex 
 |-  ( E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) <-> E. n ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) )
23 df-rex 
 |-  ( E. i e. dom f Z e. ( f ` i ) <-> E. i ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) )
24 22 23 anbi12i 
 |-  ( ( E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ E. i e. dom f Z e. ( f ` i ) ) <-> ( E. n ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) /\ E. i ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) ) )
25 21 24 bitr4i 
 |-  ( ( E. n ch /\ E. i ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) ) <-> ( E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ E. i e. dom f Z e. ( f ` i ) ) )
26 17 25 bnj133 
 |-  ( Z e. _trCl ( X , A , R ) <-> E. f ( E. n ch /\ E. i ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) ) )
27 19.41v 
 |-  ( E. n ( ch /\ E. i ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) ) <-> ( E. n ch /\ E. i ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) ) )
28 26 27 bnj133 
 |-  ( Z e. _trCl ( X , A , R ) <-> E. f E. n ( ch /\ E. i ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) ) )
29 2 bnj1095 
 |-  ( ps -> A. i ps )
30 29 5 bnj1096 
 |-  ( ch -> A. i ch )
31 30 nf5i 
 |-  F/ i ch
32 31 19.42 
 |-  ( E. i ( ch /\ ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) ) <-> ( ch /\ E. i ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) ) )
33 32 2exbii 
 |-  ( E. f E. n E. i ( ch /\ ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) ) <-> E. f E. n ( ch /\ E. i ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) ) )
34 28 33 bitr4i 
 |-  ( Z e. _trCl ( X , A , R ) <-> E. f E. n E. i ( ch /\ ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) ) )
35 3anass 
 |-  ( ( ch /\ i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) <-> ( ch /\ ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) ) )
36 35 3exbii 
 |-  ( E. f E. n E. i ( ch /\ i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) <-> E. f E. n E. i ( ch /\ ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) ) )
37 fndm 
 |-  ( f Fn n -> dom f = n )
38 5 37 bnj770 
 |-  ( ch -> dom f = n )
39 eleq2 
 |-  ( dom f = n -> ( i e. dom f <-> i e. n ) )
40 39 3anbi2d 
 |-  ( dom f = n -> ( ( ch /\ i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) <-> ( ch /\ i e. n /\ Z e. ( f ` i ) ) ) )
41 38 40 syl 
 |-  ( ch -> ( ( ch /\ i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) <-> ( ch /\ i e. n /\ Z e. ( f ` i ) ) ) )
42 41 3ad2ant1 
 |-  ( ( ch /\ i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) -> ( ( ch /\ i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) <-> ( ch /\ i e. n /\ Z e. ( f ` i ) ) ) )
43 42 ibi 
 |-  ( ( ch /\ i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) -> ( ch /\ i e. n /\ Z e. ( f ` i ) ) )
44 41 3ad2ant1 
 |-  ( ( ch /\ i e. n /\ Z e. ( f ` i ) ) -> ( ( ch /\ i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) <-> ( ch /\ i e. n /\ Z e. ( f ` i ) ) ) )
45 44 ibir 
 |-  ( ( ch /\ i e. n /\ Z e. ( f ` i ) ) -> ( ch /\ i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) )
46 43 45 impbii 
 |-  ( ( ch /\ i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) <-> ( ch /\ i e. n /\ Z e. ( f ` i ) ) )
47 46 3exbii 
 |-  ( E. f E. n E. i ( ch /\ i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) <-> E. f E. n E. i ( ch /\ i e. n /\ Z e. ( f ` i ) ) )
48 34 36 47 3bitr2i 
 |-  ( Z e. _trCl ( X , A , R ) <-> E. f E. n E. i ( ch /\ i e. n /\ Z e. ( f ` i ) ) )