Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemc2.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
cdlemc2.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
cdlemc2.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
4 |
|
cdlemc2.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
5 |
|
cdlemc2.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
6 |
|
cdlemc2.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
7 |
|
simp1l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> K e. HL ) |
8 |
|
simp3ll |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> P e. A ) |
9 |
|
simp3rl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> Q e. A ) |
10 |
1 2 4
|
hlatlej2 |
|- ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> Q .<_ ( P .\/ Q ) ) |
11 |
7 8 9 10
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> Q .<_ ( P .\/ Q ) ) |
12 |
|
simp1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
13 |
|
eqid |
|- ( Base ` K ) = ( Base ` K ) |
14 |
13 4
|
atbase |
|- ( Q e. A -> Q e. ( Base ` K ) ) |
15 |
9 14
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> Q e. ( Base ` K ) ) |
16 |
|
simp3l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
17 |
13 1 2 3 4 5
|
cdlemc1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Q e. ( Base ` K ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( P .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) = ( P .\/ Q ) ) |
18 |
12 15 16 17
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( P .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) = ( P .\/ Q ) ) |
19 |
11 18
|
breqtrrd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> Q .<_ ( P .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) |
20 |
|
simp2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> F e. T ) |
21 |
7
|
hllatd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> K e. Lat ) |
22 |
13 4
|
atbase |
|- ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) ) |
23 |
8 22
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> P e. ( Base ` K ) ) |
24 |
13 2
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ P e. ( Base ` K ) /\ Q e. ( Base ` K ) ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) ) |
25 |
21 23 15 24
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) ) |
26 |
|
simp1r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> W e. H ) |
27 |
13 5
|
lhpbase |
|- ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) ) |
28 |
26 27
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> W e. ( Base ` K ) ) |
29 |
13 3
|
latmcl |
|- ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) ) |
30 |
21 25 28 29
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) ) |
31 |
13 2
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ P e. ( Base ` K ) /\ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) ) -> ( P .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) e. ( Base ` K ) ) |
32 |
21 23 30 31
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( P .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) e. ( Base ` K ) ) |
33 |
13 1 5 6
|
ltrnle |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( Q e. ( Base ` K ) /\ ( P .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( Q .<_ ( P .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) <-> ( F ` Q ) .<_ ( F ` ( P .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) ) ) |
34 |
12 20 15 32 33
|
syl112anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( Q .<_ ( P .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) <-> ( F ` Q ) .<_ ( F ` ( P .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) ) ) |
35 |
19 34
|
mpbid |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( F ` Q ) .<_ ( F ` ( P .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) ) |
36 |
13 2 5 6
|
ltrnj |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. ( Base ` K ) /\ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( F ` ( P .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) = ( ( F ` P ) .\/ ( F ` ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) ) |
37 |
12 20 23 30 36
|
syl112anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( F ` ( P .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) = ( ( F ` P ) .\/ ( F ` ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) ) |
38 |
13 1 3
|
latmle2 |
|- ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) .<_ W ) |
39 |
21 25 28 38
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) .<_ W ) |
40 |
13 1 5 6
|
ltrnval1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) /\ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) .<_ W ) ) -> ( F ` ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) |
41 |
12 20 30 39 40
|
syl112anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( F ` ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) |
42 |
41
|
oveq2d |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( ( F ` P ) .\/ ( F ` ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) = ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) |
43 |
37 42
|
eqtrd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( F ` ( P .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) = ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) |
44 |
35 43
|
breqtrd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( F ` Q ) .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) |