Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdleme22.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
cdleme22.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
cdleme22.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
4 |
|
cdleme22.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
5 |
|
cdleme22.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
6 |
|
cdleme22.u |
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) |
7 |
|
simp33 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ V .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> V .<_ ( P .\/ Q ) ) |
8 |
|
simp32 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ V .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> V .<_ W ) |
9 |
|
simp1l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ V .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> K e. HL ) |
10 |
9
|
hllatd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ V .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> K e. Lat ) |
11 |
|
simp31 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ V .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> V e. A ) |
12 |
|
eqid |
|- ( Base ` K ) = ( Base ` K ) |
13 |
12 4
|
atbase |
|- ( V e. A -> V e. ( Base ` K ) ) |
14 |
11 13
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ V .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> V e. ( Base ` K ) ) |
15 |
|
simp21l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ V .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> P e. A ) |
16 |
|
simp22 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ V .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> Q e. A ) |
17 |
12 2 4
|
hlatjcl |
|- ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) ) |
18 |
9 15 16 17
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ V .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) ) |
19 |
|
simp1r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ V .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> W e. H ) |
20 |
12 5
|
lhpbase |
|- ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) ) |
21 |
19 20
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ V .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> W e. ( Base ` K ) ) |
22 |
12 1 3
|
latlem12 |
|- ( ( K e. Lat /\ ( V e. ( Base ` K ) /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( V .<_ ( P .\/ Q ) /\ V .<_ W ) <-> V .<_ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) |
23 |
10 14 18 21 22
|
syl13anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ V .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( V .<_ ( P .\/ Q ) /\ V .<_ W ) <-> V .<_ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) |
24 |
7 8 23
|
mpbi2and |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ V .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> V .<_ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) |
25 |
24 6
|
breqtrrdi |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ V .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> V .<_ U ) |
26 |
|
hlatl |
|- ( K e. HL -> K e. AtLat ) |
27 |
9 26
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ V .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> K e. AtLat ) |
28 |
|
simp21r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ V .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> -. P .<_ W ) |
29 |
|
simp23 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ V .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> P =/= Q ) |
30 |
1 2 3 4 5 6
|
cdleme0a |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) -> U e. A ) |
31 |
9 19 15 28 16 29 30
|
syl222anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ V .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> U e. A ) |
32 |
1 4
|
atcmp |
|- ( ( K e. AtLat /\ V e. A /\ U e. A ) -> ( V .<_ U <-> V = U ) ) |
33 |
27 11 31 32
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ V .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( V .<_ U <-> V = U ) ) |
34 |
25 33
|
mpbid |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ V .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> V = U ) |