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Theorem cdleme42c

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. Match -. x .<_ W . (Contributed by NM, 6-Mar-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdleme42.b 
|- B = ( Base ` K )
cdleme42.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdleme42.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdleme42.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdleme42.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdleme42.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdleme42.v 
|- V = ( ( R .\/ S ) ./\ W )
Assertion cdleme42c 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> -. ( R .\/ V ) .<_ W )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme42.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdleme42.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdleme42.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdleme42.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdleme42.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdleme42.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdleme42.v 
 |-  V = ( ( R .\/ S ) ./\ W )
8 simp2r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> -. R .<_ W )
9 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> K e. HL )
10 9 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> K e. Lat )
11 simp2l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> R e. A )
12 1 5 atbase 
 |-  ( R e. A -> R e. B )
13 11 12 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> R e. B )
14 simp3l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> S e. A )
15 1 3 5 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ R e. A /\ S e. A ) -> ( R .\/ S ) e. B )
16 9 11 14 15 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> ( R .\/ S ) e. B )
17 simp1r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> W e. H )
18 1 6 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. B )
19 17 18 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> W e. B )
20 1 4 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( R .\/ S ) e. B /\ W e. B ) -> ( ( R .\/ S ) ./\ W ) e. B )
21 10 16 19 20 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> ( ( R .\/ S ) ./\ W ) e. B )
22 7 21 eqeltrid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> V e. B )
23 1 2 3 latjle12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( R e. B /\ V e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( R .<_ W /\ V .<_ W ) <-> ( R .\/ V ) .<_ W ) )
24 10 13 22 19 23 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> ( ( R .<_ W /\ V .<_ W ) <-> ( R .\/ V ) .<_ W ) )
25 simpl 
 |-  ( ( R .<_ W /\ V .<_ W ) -> R .<_ W )
26 24 25 biimtrrdi 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> ( ( R .\/ V ) .<_ W -> R .<_ W ) )
27 8 26 mtod 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> -. ( R .\/ V ) .<_ W )