Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdleme42.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
cdleme42.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
cdleme42.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
4 |
|
cdleme42.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
5 |
|
cdleme42.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
6 |
|
cdleme42.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
7 |
|
cdleme42.v |
|- V = ( ( R .\/ S ) ./\ W ) |
8 |
|
simp2r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> -. R .<_ W ) |
9 |
|
simp1l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> K e. HL ) |
10 |
9
|
hllatd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> K e. Lat ) |
11 |
|
simp2l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> R e. A ) |
12 |
1 5
|
atbase |
|- ( R e. A -> R e. B ) |
13 |
11 12
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> R e. B ) |
14 |
|
simp3l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> S e. A ) |
15 |
1 3 5
|
hlatjcl |
|- ( ( K e. HL /\ R e. A /\ S e. A ) -> ( R .\/ S ) e. B ) |
16 |
9 11 14 15
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> ( R .\/ S ) e. B ) |
17 |
|
simp1r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> W e. H ) |
18 |
1 6
|
lhpbase |
|- ( W e. H -> W e. B ) |
19 |
17 18
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> W e. B ) |
20 |
1 4
|
latmcl |
|- ( ( K e. Lat /\ ( R .\/ S ) e. B /\ W e. B ) -> ( ( R .\/ S ) ./\ W ) e. B ) |
21 |
10 16 19 20
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> ( ( R .\/ S ) ./\ W ) e. B ) |
22 |
7 21
|
eqeltrid |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> V e. B ) |
23 |
1 2 3
|
latjle12 |
|- ( ( K e. Lat /\ ( R e. B /\ V e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( R .<_ W /\ V .<_ W ) <-> ( R .\/ V ) .<_ W ) ) |
24 |
10 13 22 19 23
|
syl13anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> ( ( R .<_ W /\ V .<_ W ) <-> ( R .\/ V ) .<_ W ) ) |
25 |
|
simpl |
|- ( ( R .<_ W /\ V .<_ W ) -> R .<_ W ) |
26 |
24 25
|
syl6bir |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> ( ( R .\/ V ) .<_ W -> R .<_ W ) ) |
27 |
8 26
|
mtod |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> -. ( R .\/ V ) .<_ W ) |