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Theorem cdlemg8b

Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 29-Apr-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg8.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemg8.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemg8.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemg8.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemg8.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemg8.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
Assertion cdlemg8b 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) = ( P .\/ Q ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg8.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdlemg8.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 cdlemg8.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 cdlemg8.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdlemg8.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdlemg8.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> K e. HL )
8 7 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> K e. Lat )
9 simp21l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> P e. A )
10 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
11 10 4 atbase 
 |-  ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) )
12 9 11 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> P e. ( Base ` K ) )
13 simp22l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> Q e. A )
14 10 4 atbase 
 |-  ( Q e. A -> Q e. ( Base ` K ) )
15 13 14 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> Q e. ( Base ` K ) )
16 10 1 2 latlej1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ P e. ( Base ` K ) /\ Q e. ( Base ` K ) ) -> P .<_ ( P .\/ Q ) )
17 8 12 15 16 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> P .<_ ( P .\/ Q ) )
18 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
19 simp23 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> F e. T )
20 simp31 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> G e. T )
21 simp21 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
22 1 4 5 6 ltrnel 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) )
23 18 20 21 22 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) )
24 1 4 5 6 ltrnel 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) ) -> ( ( F ` ( G ` P ) ) e. A /\ -. ( F ` ( G ` P ) ) .<_ W ) )
25 24 simpld 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) ) -> ( F ` ( G ` P ) ) e. A )
26 18 19 23 25 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( F ` ( G ` P ) ) e. A )
27 10 4 atbase 
 |-  ( ( F ` ( G ` P ) ) e. A -> ( F ` ( G ` P ) ) e. ( Base ` K ) )
28 26 27 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( F ` ( G ` P ) ) e. ( Base ` K ) )
29 10 5 6 ltrncl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ Q e. ( Base ` K ) ) -> ( G ` Q ) e. ( Base ` K ) )
30 18 20 15 29 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( G ` Q ) e. ( Base ` K ) )
31 10 5 6 ltrncl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( G ` Q ) e. ( Base ` K ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) e. ( Base ` K ) )
32 18 19 30 31 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) e. ( Base ` K ) )
33 10 1 2 latlej1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( F ` ( G ` P ) ) e. ( Base ` K ) /\ ( F ` ( G ` Q ) ) e. ( Base ` K ) ) -> ( F ` ( G ` P ) ) .<_ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) )
34 8 28 32 33 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( F ` ( G ` P ) ) .<_ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) )
35 simp32 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) )
36 34 35 breqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( F ` ( G ` P ) ) .<_ ( P .\/ Q ) )
37 10 2 4 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) )
38 7 9 13 37 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) )
39 10 1 2 latjle12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P e. ( Base ` K ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) e. ( Base ` K ) /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( P .<_ ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) .<_ ( P .\/ Q ) ) <-> ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) .<_ ( P .\/ Q ) ) )
40 8 12 28 38 39 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( ( P .<_ ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) .<_ ( P .\/ Q ) ) <-> ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) .<_ ( P .\/ Q ) ) )
41 17 36 40 mpbi2and 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) .<_ ( P .\/ Q ) )
42 simp33 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( F ` ( G ` P ) ) =/= P )
43 42 necomd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> P =/= ( F ` ( G ` P ) ) )
44 1 2 4 ps-1 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ ( F ` ( G ` P ) ) e. A /\ P =/= ( F ` ( G ` P ) ) ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) ) -> ( ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) .<_ ( P .\/ Q ) <-> ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) = ( P .\/ Q ) ) )
45 7 9 26 43 9 13 44 syl132anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) .<_ ( P .\/ Q ) <-> ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) = ( P .\/ Q ) ) )
46 41 45 mpbid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) = ( P .\/ Q ) )