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Theorem cvrval2

Description: Binary relation expressing Y covers X . Definition of covers in Kalmbach p. 15. ( cvbr2 analog.) (Contributed by NM, 16-Nov-2011)

Ref Expression
Hypotheses cvrletr.b 
|- B = ( Base ` K )
cvrletr.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cvrletr.s 
|- .< = ( lt ` K )
cvrletr.c 
|- C = (
Assertion cvrval2 
|- ( ( K e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> ( X .< Y /\ A. z e. B ( ( X .< z /\ z .<_ Y ) -> z = Y ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cvrletr.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cvrletr.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cvrletr.s 
 |-  .< = ( lt ` K )
4 cvrletr.c 
 |-  C = (
5 1 3 4 cvrval 
 |-  ( ( K e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> ( X .< Y /\ -. E. z e. B ( X .< z /\ z .< Y ) ) ) )
6 iman 
 |-  ( ( ( X .< z /\ z .<_ Y ) -> z = Y ) <-> -. ( ( X .< z /\ z .<_ Y ) /\ -. z = Y ) )
7 df-ne 
 |-  ( z =/= Y <-> -. z = Y )
8 7 anbi2i 
 |-  ( ( ( X .< z /\ z .<_ Y ) /\ z =/= Y ) <-> ( ( X .< z /\ z .<_ Y ) /\ -. z = Y ) )
9 6 8 xchbinxr 
 |-  ( ( ( X .< z /\ z .<_ Y ) -> z = Y ) <-> -. ( ( X .< z /\ z .<_ Y ) /\ z =/= Y ) )
10 anass 
 |-  ( ( ( X .< z /\ z .<_ Y ) /\ z =/= Y ) <-> ( X .< z /\ ( z .<_ Y /\ z =/= Y ) ) )
11 2 3 pltval 
 |-  ( ( K e. A /\ z e. B /\ Y e. B ) -> ( z .< Y <-> ( z .<_ Y /\ z =/= Y ) ) )
12 11 3com23 
 |-  ( ( K e. A /\ Y e. B /\ z e. B ) -> ( z .< Y <-> ( z .<_ Y /\ z =/= Y ) ) )
13 12 3expa 
 |-  ( ( ( K e. A /\ Y e. B ) /\ z e. B ) -> ( z .< Y <-> ( z .<_ Y /\ z =/= Y ) ) )
14 13 anbi2d 
 |-  ( ( ( K e. A /\ Y e. B ) /\ z e. B ) -> ( ( X .< z /\ z .< Y ) <-> ( X .< z /\ ( z .<_ Y /\ z =/= Y ) ) ) )
15 10 14 bitr4id 
 |-  ( ( ( K e. A /\ Y e. B ) /\ z e. B ) -> ( ( ( X .< z /\ z .<_ Y ) /\ z =/= Y ) <-> ( X .< z /\ z .< Y ) ) )
16 15 notbid 
 |-  ( ( ( K e. A /\ Y e. B ) /\ z e. B ) -> ( -. ( ( X .< z /\ z .<_ Y ) /\ z =/= Y ) <-> -. ( X .< z /\ z .< Y ) ) )
17 9 16 syl5bb 
 |-  ( ( ( K e. A /\ Y e. B ) /\ z e. B ) -> ( ( ( X .< z /\ z .<_ Y ) -> z = Y ) <-> -. ( X .< z /\ z .< Y ) ) )
18 17 ralbidva 
 |-  ( ( K e. A /\ Y e. B ) -> ( A. z e. B ( ( X .< z /\ z .<_ Y ) -> z = Y ) <-> A. z e. B -. ( X .< z /\ z .< Y ) ) )
19 ralnex 
 |-  ( A. z e. B -. ( X .< z /\ z .< Y ) <-> -. E. z e. B ( X .< z /\ z .< Y ) )
20 18 19 bitrdi 
 |-  ( ( K e. A /\ Y e. B ) -> ( A. z e. B ( ( X .< z /\ z .<_ Y ) -> z = Y ) <-> -. E. z e. B ( X .< z /\ z .< Y ) ) )
21 20 anbi2d 
 |-  ( ( K e. A /\ Y e. B ) -> ( ( X .< Y /\ A. z e. B ( ( X .< z /\ z .<_ Y ) -> z = Y ) ) <-> ( X .< Y /\ -. E. z e. B ( X .< z /\ z .< Y ) ) ) )
22 21 3adant2 
 |-  ( ( K e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .< Y /\ A. z e. B ( ( X .< z /\ z .<_ Y ) -> z = Y ) ) <-> ( X .< Y /\ -. E. z e. B ( X .< z /\ z .< Y ) ) ) )
23 5 22 bitr4d 
 |-  ( ( K e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> ( X .< Y /\ A. z e. B ( ( X .< z /\ z .<_ Y ) -> z = Y ) ) ) )