Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
difexg |
|- ( X e. V -> ( X \ { A } ) e. _V ) |
2 |
|
enrefg |
|- ( ( X \ { A } ) e. _V -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { A } ) ) |
3 |
1 2
|
syl |
|- ( X e. V -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { A } ) ) |
4 |
3
|
3ad2ant1 |
|- ( ( X e. V /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { A } ) ) |
5 |
|
sneq |
|- ( A = B -> { A } = { B } ) |
6 |
5
|
difeq2d |
|- ( A = B -> ( X \ { A } ) = ( X \ { B } ) ) |
7 |
6
|
breq2d |
|- ( A = B -> ( ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { A } ) <-> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { B } ) ) ) |
8 |
4 7
|
syl5ibcom |
|- ( ( X e. V /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A = B -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { B } ) ) ) |
9 |
8
|
imp |
|- ( ( ( X e. V /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A = B ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { B } ) ) |
10 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( X e. V /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A =/= B ) -> X e. V ) |
11 |
|
difexg |
|- ( ( X \ { A } ) e. _V -> ( ( X \ { A } ) \ { B } ) e. _V ) |
12 |
|
enrefg |
|- ( ( ( X \ { A } ) \ { B } ) e. _V -> ( ( X \ { A } ) \ { B } ) ~~ ( ( X \ { A } ) \ { B } ) ) |
13 |
10 1 11 12
|
4syl |
|- ( ( ( X e. V /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A =/= B ) -> ( ( X \ { A } ) \ { B } ) ~~ ( ( X \ { A } ) \ { B } ) ) |
14 |
|
dif32 |
|- ( ( X \ { A } ) \ { B } ) = ( ( X \ { B } ) \ { A } ) |
15 |
13 14
|
breqtrdi |
|- ( ( ( X e. V /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A =/= B ) -> ( ( X \ { A } ) \ { B } ) ~~ ( ( X \ { B } ) \ { A } ) ) |
16 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( X e. V /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A =/= B ) -> B e. X ) |
17 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( X e. V /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A =/= B ) -> A e. X ) |
18 |
|
en2sn |
|- ( ( B e. X /\ A e. X ) -> { B } ~~ { A } ) |
19 |
16 17 18
|
syl2anc |
|- ( ( ( X e. V /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A =/= B ) -> { B } ~~ { A } ) |
20 |
|
disjdifr |
|- ( ( ( X \ { A } ) \ { B } ) i^i { B } ) = (/) |
21 |
20
|
a1i |
|- ( ( ( X e. V /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A =/= B ) -> ( ( ( X \ { A } ) \ { B } ) i^i { B } ) = (/) ) |
22 |
|
disjdifr |
|- ( ( ( X \ { B } ) \ { A } ) i^i { A } ) = (/) |
23 |
22
|
a1i |
|- ( ( ( X e. V /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A =/= B ) -> ( ( ( X \ { B } ) \ { A } ) i^i { A } ) = (/) ) |
24 |
|
unen |
|- ( ( ( ( ( X \ { A } ) \ { B } ) ~~ ( ( X \ { B } ) \ { A } ) /\ { B } ~~ { A } ) /\ ( ( ( ( X \ { A } ) \ { B } ) i^i { B } ) = (/) /\ ( ( ( X \ { B } ) \ { A } ) i^i { A } ) = (/) ) ) -> ( ( ( X \ { A } ) \ { B } ) u. { B } ) ~~ ( ( ( X \ { B } ) \ { A } ) u. { A } ) ) |
25 |
15 19 21 23 24
|
syl22anc |
|- ( ( ( X e. V /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A =/= B ) -> ( ( ( X \ { A } ) \ { B } ) u. { B } ) ~~ ( ( ( X \ { B } ) \ { A } ) u. { A } ) ) |
26 |
|
simpr |
|- ( ( ( X e. V /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A =/= B ) -> A =/= B ) |
27 |
26
|
necomd |
|- ( ( ( X e. V /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A =/= B ) -> B =/= A ) |
28 |
|
eldifsn |
|- ( B e. ( X \ { A } ) <-> ( B e. X /\ B =/= A ) ) |
29 |
16 27 28
|
sylanbrc |
|- ( ( ( X e. V /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A =/= B ) -> B e. ( X \ { A } ) ) |
30 |
|
difsnid |
|- ( B e. ( X \ { A } ) -> ( ( ( X \ { A } ) \ { B } ) u. { B } ) = ( X \ { A } ) ) |
31 |
29 30
|
syl |
|- ( ( ( X e. V /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A =/= B ) -> ( ( ( X \ { A } ) \ { B } ) u. { B } ) = ( X \ { A } ) ) |
32 |
|
eldifsn |
|- ( A e. ( X \ { B } ) <-> ( A e. X /\ A =/= B ) ) |
33 |
17 26 32
|
sylanbrc |
|- ( ( ( X e. V /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A =/= B ) -> A e. ( X \ { B } ) ) |
34 |
|
difsnid |
|- ( A e. ( X \ { B } ) -> ( ( ( X \ { B } ) \ { A } ) u. { A } ) = ( X \ { B } ) ) |
35 |
33 34
|
syl |
|- ( ( ( X e. V /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A =/= B ) -> ( ( ( X \ { B } ) \ { A } ) u. { A } ) = ( X \ { B } ) ) |
36 |
25 31 35
|
3brtr3d |
|- ( ( ( X e. V /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A =/= B ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { B } ) ) |
37 |
9 36
|
pm2.61dane |
|- ( ( X e. V /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { B } ) ) |