Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dprdlub.1 |
|- ( ph -> G dom DProd S ) |
2 |
|
dprdlub.2 |
|- ( ph -> dom S = I ) |
3 |
|
dprdlub.3 |
|- ( ph -> T e. ( SubGrp ` G ) ) |
4 |
|
dprdlub.4 |
|- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( S ` k ) C_ T ) |
5 |
|
eqid |
|- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G ) |
6 |
|
eqid |
|- { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } = { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } |
7 |
5 6
|
dprdval |
|- ( ( G dom DProd S /\ dom S = I ) -> ( G DProd S ) = ran ( f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } |-> ( G gsum f ) ) ) |
8 |
1 2 7
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( G DProd S ) = ran ( f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } |-> ( G gsum f ) ) ) |
9 |
|
eqid |
|- ( Cntz ` G ) = ( Cntz ` G ) |
10 |
1
|
adantr |
|- ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> G dom DProd S ) |
11 |
|
dprdgrp |
|- ( G dom DProd S -> G e. Grp ) |
12 |
|
grpmnd |
|- ( G e. Grp -> G e. Mnd ) |
13 |
10 11 12
|
3syl |
|- ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> G e. Mnd ) |
14 |
1 2
|
dprddomcld |
|- ( ph -> I e. _V ) |
15 |
14
|
adantr |
|- ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> I e. _V ) |
16 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> T e. ( SubGrp ` G ) ) |
17 |
|
subgsubm |
|- ( T e. ( SubGrp ` G ) -> T e. ( SubMnd ` G ) ) |
18 |
16 17
|
syl |
|- ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> T e. ( SubMnd ` G ) ) |
19 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> dom S = I ) |
20 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) |
21 |
|
eqid |
|- ( Base ` G ) = ( Base ` G ) |
22 |
6 10 19 20 21
|
dprdff |
|- ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> f : I --> ( Base ` G ) ) |
23 |
22
|
ffnd |
|- ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> f Fn I ) |
24 |
4
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) /\ k e. I ) -> ( S ` k ) C_ T ) |
25 |
6 10 19 20
|
dprdfcl |
|- ( ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) /\ k e. I ) -> ( f ` k ) e. ( S ` k ) ) |
26 |
24 25
|
sseldd |
|- ( ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) /\ k e. I ) -> ( f ` k ) e. T ) |
27 |
26
|
ralrimiva |
|- ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> A. k e. I ( f ` k ) e. T ) |
28 |
|
ffnfv |
|- ( f : I --> T <-> ( f Fn I /\ A. k e. I ( f ` k ) e. T ) ) |
29 |
23 27 28
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> f : I --> T ) |
30 |
6 10 19 20 9
|
dprdfcntz |
|- ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> ran f C_ ( ( Cntz ` G ) ` ran f ) ) |
31 |
6 10 19 20
|
dprdffsupp |
|- ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> f finSupp ( 0g ` G ) ) |
32 |
5 9 13 15 18 29 30 31
|
gsumzsubmcl |
|- ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> ( G gsum f ) e. T ) |
33 |
32
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } |-> ( G gsum f ) ) : { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } --> T ) |
34 |
33
|
frnd |
|- ( ph -> ran ( f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } |-> ( G gsum f ) ) C_ T ) |
35 |
8 34
|
eqsstrd |
|- ( ph -> ( G DProd S ) C_ T ) |