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Theorem efieq1re

Description: A number whose imaginary exponential is one is real. (Contributed by NM, 21-Aug-2008)

Ref Expression
Assertion efieq1re
|- ( ( A e. CC /\ ( exp ` ( _i x. A ) ) = 1 ) -> A e. RR )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 replim
 |-  ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2 1 oveq2d
 |-  ( A e. CC -> ( _i x. A ) = ( _i x. ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
3 ax-icn
 |-  _i e. CC
4 recl
 |-  ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
5 4 recnd
 |-  ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
6 imcl
 |-  ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
7 6 recnd
 |-  ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
8 mulcl
 |-  ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
9 3 7 8 sylancr
 |-  ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
10 adddi
 |-  ( ( _i e. CC /\ ( Re ` A ) e. CC /\ ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC ) -> ( _i x. ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
11 3 5 9 10 mp3an2i
 |-  ( A e. CC -> ( _i x. ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
12 ixi
 |-  ( _i x. _i ) = -u 1
13 12 oveq1i
 |-  ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( -u 1 x. ( Im ` A ) )
14 mulass
 |-  ( ( _i e. CC /\ _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
15 3 3 7 14 mp3an12i
 |-  ( A e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
16 7 mulm1d
 |-  ( A e. CC -> ( -u 1 x. ( Im ` A ) ) = -u ( Im ` A ) )
17 13 15 16 3eqtr3a
 |-  ( A e. CC -> ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = -u ( Im ` A ) )
18 17 oveq2d
 |-  ( A e. CC -> ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + -u ( Im ` A ) ) )
19 11 18 eqtrd
 |-  ( A e. CC -> ( _i x. ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + -u ( Im ` A ) ) )
20 2 19 eqtrd
 |-  ( A e. CC -> ( _i x. A ) = ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + -u ( Im ` A ) ) )
21 20 fveq2d
 |-  ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. A ) ) = ( exp ` ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + -u ( Im ` A ) ) ) )
22 mulcl
 |-  ( ( _i e. CC /\ ( Re ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Re ` A ) ) e. CC )
23 3 5 22 sylancr
 |-  ( A e. CC -> ( _i x. ( Re ` A ) ) e. CC )
24 6 renegcld
 |-  ( A e. CC -> -u ( Im ` A ) e. RR )
25 24 recnd
 |-  ( A e. CC -> -u ( Im ` A ) e. CC )
26 efadd
 |-  ( ( ( _i x. ( Re ` A ) ) e. CC /\ -u ( Im ` A ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + -u ( Im ` A ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) )
27 23 25 26 syl2anc
 |-  ( A e. CC -> ( exp ` ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + -u ( Im ` A ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) )
28 21 27 eqtrd
 |-  ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. A ) ) = ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) )
29 28 eqeq1d
 |-  ( A e. CC -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) = 1 <-> ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) = 1 ) )
30 efcl
 |-  ( ( _i x. ( Re ` A ) ) e. CC -> ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) e. CC )
31 23 30 syl
 |-  ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) e. CC )
32 efcl
 |-  ( -u ( Im ` A ) e. CC -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) e. CC )
33 25 32 syl
 |-  ( A e. CC -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) e. CC )
34 31 33 absmuld
 |-  ( A e. CC -> ( abs ` ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) ) x. ( abs ` ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) )
35 absefi
 |-  ( ( Re ` A ) e. RR -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) ) = 1 )
36 4 35 syl
 |-  ( A e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) ) = 1 )
37 24 reefcld
 |-  ( A e. CC -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) e. RR )
38 efgt0
 |-  ( -u ( Im ` A ) e. RR -> 0 < ( exp ` -u ( Im ` A ) ) )
39 24 38 syl
 |-  ( A e. CC -> 0 < ( exp ` -u ( Im ` A ) ) )
40 0re
 |-  0 e. RR
41 ltle
 |-  ( ( 0 e. RR /\ ( exp ` -u ( Im ` A ) ) e. RR ) -> ( 0 < ( exp ` -u ( Im ` A ) ) -> 0 <_ ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) )
42 40 41 mpan
 |-  ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) e. RR -> ( 0 < ( exp ` -u ( Im ` A ) ) -> 0 <_ ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) )
43 37 39 42 sylc
 |-  ( A e. CC -> 0 <_ ( exp ` -u ( Im ` A ) ) )
44 37 43 absidd
 |-  ( A e. CC -> ( abs ` ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) = ( exp ` -u ( Im ` A ) ) )
45 36 44 oveq12d
 |-  ( A e. CC -> ( ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) ) x. ( abs ` ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) = ( 1 x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) )
46 33 mulid2d
 |-  ( A e. CC -> ( 1 x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) = ( exp ` -u ( Im ` A ) ) )
47 34 45 46 3eqtrrd
 |-  ( A e. CC -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) )
48 fveq2
 |-  ( ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) = 1 -> ( abs ` ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) = ( abs ` 1 ) )
49 47 48 sylan9eq
 |-  ( ( A e. CC /\ ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) = 1 ) -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` 1 ) )
50 49 ex
 |-  ( A e. CC -> ( ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) = 1 -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` 1 ) ) )
51 29 50 sylbid
 |-  ( A e. CC -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) = 1 -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` 1 ) ) )
52 7 negeq0d
 |-  ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) = 0 <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
53 reim0b
 |-  ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Im ` A ) = 0 ) )
54 ef0
 |-  ( exp ` 0 ) = 1
55 abs1
 |-  ( abs ` 1 ) = 1
56 54 55 eqtr4i
 |-  ( exp ` 0 ) = ( abs ` 1 )
57 56 eqeq2i
 |-  ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( exp ` 0 ) <-> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` 1 ) )
58 reef11
 |-  ( ( -u ( Im ` A ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( exp ` 0 ) <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
59 24 40 58 sylancl
 |-  ( A e. CC -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( exp ` 0 ) <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
60 57 59 bitr3id
 |-  ( A e. CC -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` 1 ) <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
61 52 53 60 3bitr4rd
 |-  ( A e. CC -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` 1 ) <-> A e. RR ) )
62 51 61 sylibd
 |-  ( A e. CC -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) = 1 -> A e. RR ) )
63 62 imp
 |-  ( ( A e. CC /\ ( exp ` ( _i x. A ) ) = 1 ) -> A e. RR )