Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
replim |
|- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) |
2 |
1
|
oveq2d |
|- ( A e. CC -> ( _i x. A ) = ( _i x. ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) |
3 |
|
ax-icn |
|- _i e. CC |
4 |
|
recl |
|- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR ) |
5 |
4
|
recnd |
|- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC ) |
6 |
|
imcl |
|- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR ) |
7 |
6
|
recnd |
|- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC ) |
8 |
|
mulcl |
|- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC ) |
9 |
3 7 8
|
sylancr |
|- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC ) |
10 |
|
adddi |
|- ( ( _i e. CC /\ ( Re ` A ) e. CC /\ ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC ) -> ( _i x. ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) |
11 |
3 5 9 10
|
mp3an2i |
|- ( A e. CC -> ( _i x. ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) |
12 |
|
ixi |
|- ( _i x. _i ) = -u 1 |
13 |
12
|
oveq1i |
|- ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( -u 1 x. ( Im ` A ) ) |
14 |
|
mulass |
|- ( ( _i e. CC /\ _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) |
15 |
3 3 7 14
|
mp3an12i |
|- ( A e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) |
16 |
7
|
mulm1d |
|- ( A e. CC -> ( -u 1 x. ( Im ` A ) ) = -u ( Im ` A ) ) |
17 |
13 15 16
|
3eqtr3a |
|- ( A e. CC -> ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = -u ( Im ` A ) ) |
18 |
17
|
oveq2d |
|- ( A e. CC -> ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + -u ( Im ` A ) ) ) |
19 |
11 18
|
eqtrd |
|- ( A e. CC -> ( _i x. ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + -u ( Im ` A ) ) ) |
20 |
2 19
|
eqtrd |
|- ( A e. CC -> ( _i x. A ) = ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + -u ( Im ` A ) ) ) |
21 |
20
|
fveq2d |
|- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. A ) ) = ( exp ` ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + -u ( Im ` A ) ) ) ) |
22 |
|
mulcl |
|- ( ( _i e. CC /\ ( Re ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Re ` A ) ) e. CC ) |
23 |
3 5 22
|
sylancr |
|- ( A e. CC -> ( _i x. ( Re ` A ) ) e. CC ) |
24 |
6
|
renegcld |
|- ( A e. CC -> -u ( Im ` A ) e. RR ) |
25 |
24
|
recnd |
|- ( A e. CC -> -u ( Im ` A ) e. CC ) |
26 |
|
efadd |
|- ( ( ( _i x. ( Re ` A ) ) e. CC /\ -u ( Im ` A ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + -u ( Im ` A ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) |
27 |
23 25 26
|
syl2anc |
|- ( A e. CC -> ( exp ` ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + -u ( Im ` A ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) |
28 |
21 27
|
eqtrd |
|- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. A ) ) = ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) |
29 |
28
|
eqeq1d |
|- ( A e. CC -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) = 1 <-> ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) = 1 ) ) |
30 |
|
efcl |
|- ( ( _i x. ( Re ` A ) ) e. CC -> ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) e. CC ) |
31 |
23 30
|
syl |
|- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) e. CC ) |
32 |
|
efcl |
|- ( -u ( Im ` A ) e. CC -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) e. CC ) |
33 |
25 32
|
syl |
|- ( A e. CC -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) e. CC ) |
34 |
31 33
|
absmuld |
|- ( A e. CC -> ( abs ` ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) ) x. ( abs ` ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) ) |
35 |
|
absefi |
|- ( ( Re ` A ) e. RR -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) ) = 1 ) |
36 |
4 35
|
syl |
|- ( A e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) ) = 1 ) |
37 |
24
|
reefcld |
|- ( A e. CC -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) e. RR ) |
38 |
|
efgt0 |
|- ( -u ( Im ` A ) e. RR -> 0 < ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) |
39 |
24 38
|
syl |
|- ( A e. CC -> 0 < ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) |
40 |
|
0re |
|- 0 e. RR |
41 |
|
ltle |
|- ( ( 0 e. RR /\ ( exp ` -u ( Im ` A ) ) e. RR ) -> ( 0 < ( exp ` -u ( Im ` A ) ) -> 0 <_ ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) |
42 |
40 41
|
mpan |
|- ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) e. RR -> ( 0 < ( exp ` -u ( Im ` A ) ) -> 0 <_ ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) |
43 |
37 39 42
|
sylc |
|- ( A e. CC -> 0 <_ ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) |
44 |
37 43
|
absidd |
|- ( A e. CC -> ( abs ` ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) = ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) |
45 |
36 44
|
oveq12d |
|- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) ) x. ( abs ` ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) = ( 1 x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) |
46 |
33
|
mulid2d |
|- ( A e. CC -> ( 1 x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) = ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) |
47 |
34 45 46
|
3eqtrrd |
|- ( A e. CC -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) ) |
48 |
|
fveq2 |
|- ( ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) = 1 -> ( abs ` ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) = ( abs ` 1 ) ) |
49 |
47 48
|
sylan9eq |
|- ( ( A e. CC /\ ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) = 1 ) -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` 1 ) ) |
50 |
49
|
ex |
|- ( A e. CC -> ( ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) = 1 -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` 1 ) ) ) |
51 |
29 50
|
sylbid |
|- ( A e. CC -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) = 1 -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` 1 ) ) ) |
52 |
7
|
negeq0d |
|- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) = 0 <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) ) |
53 |
|
reim0b |
|- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Im ` A ) = 0 ) ) |
54 |
|
ef0 |
|- ( exp ` 0 ) = 1 |
55 |
|
abs1 |
|- ( abs ` 1 ) = 1 |
56 |
54 55
|
eqtr4i |
|- ( exp ` 0 ) = ( abs ` 1 ) |
57 |
56
|
eqeq2i |
|- ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( exp ` 0 ) <-> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` 1 ) ) |
58 |
|
reef11 |
|- ( ( -u ( Im ` A ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( exp ` 0 ) <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) ) |
59 |
24 40 58
|
sylancl |
|- ( A e. CC -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( exp ` 0 ) <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) ) |
60 |
57 59
|
bitr3id |
|- ( A e. CC -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` 1 ) <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) ) |
61 |
52 53 60
|
3bitr4rd |
|- ( A e. CC -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` 1 ) <-> A e. RR ) ) |
62 |
51 61
|
sylibd |
|- ( A e. CC -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) = 1 -> A e. RR ) ) |
63 |
62
|
imp |
|- ( ( A e. CC /\ ( exp ` ( _i x. A ) ) = 1 ) -> A e. RR ) |