Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elfz2nn0 |
|- ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) ) |
2 |
|
elfz2 |
|- ( L e. ( K ... N ) <-> ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( K <_ L /\ L <_ N ) ) ) |
3 |
|
simpr1 |
|- ( ( ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( K <_ L /\ L <_ N ) ) /\ ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) ) -> K e. NN0 ) |
4 |
|
elnn0z |
|- ( K e. NN0 <-> ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) ) |
5 |
|
simpr |
|- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> L e. ZZ ) |
6 |
|
0z |
|- 0 e. ZZ |
7 |
|
zletr |
|- ( ( 0 e. ZZ /\ K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ K /\ K <_ L ) -> 0 <_ L ) ) |
8 |
6 7
|
mp3an1 |
|- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ K /\ K <_ L ) -> 0 <_ L ) ) |
9 |
|
elnn0z |
|- ( L e. NN0 <-> ( L e. ZZ /\ 0 <_ L ) ) |
10 |
9
|
simplbi2 |
|- ( L e. ZZ -> ( 0 <_ L -> L e. NN0 ) ) |
11 |
5 8 10
|
sylsyld |
|- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ K /\ K <_ L ) -> L e. NN0 ) ) |
12 |
11
|
expd |
|- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( 0 <_ K -> ( K <_ L -> L e. NN0 ) ) ) |
13 |
12
|
impancom |
|- ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) -> ( L e. ZZ -> ( K <_ L -> L e. NN0 ) ) ) |
14 |
4 13
|
sylbi |
|- ( K e. NN0 -> ( L e. ZZ -> ( K <_ L -> L e. NN0 ) ) ) |
15 |
14
|
com13 |
|- ( K <_ L -> ( L e. ZZ -> ( K e. NN0 -> L e. NN0 ) ) ) |
16 |
15
|
adantr |
|- ( ( K <_ L /\ L <_ N ) -> ( L e. ZZ -> ( K e. NN0 -> L e. NN0 ) ) ) |
17 |
16
|
com12 |
|- ( L e. ZZ -> ( ( K <_ L /\ L <_ N ) -> ( K e. NN0 -> L e. NN0 ) ) ) |
18 |
17
|
3ad2ant3 |
|- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( K <_ L /\ L <_ N ) -> ( K e. NN0 -> L e. NN0 ) ) ) |
19 |
18
|
imp |
|- ( ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( K <_ L /\ L <_ N ) ) -> ( K e. NN0 -> L e. NN0 ) ) |
20 |
19
|
com12 |
|- ( K e. NN0 -> ( ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( K <_ L /\ L <_ N ) ) -> L e. NN0 ) ) |
21 |
20
|
3ad2ant1 |
|- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) -> ( ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( K <_ L /\ L <_ N ) ) -> L e. NN0 ) ) |
22 |
21
|
impcom |
|- ( ( ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( K <_ L /\ L <_ N ) ) /\ ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) ) -> L e. NN0 ) |
23 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( K <_ L /\ L <_ N ) ) /\ ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) ) -> K <_ L ) |
24 |
3 22 23
|
3jca |
|- ( ( ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( K <_ L /\ L <_ N ) ) /\ ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) ) -> ( K e. NN0 /\ L e. NN0 /\ K <_ L ) ) |
25 |
24
|
ex |
|- ( ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( K <_ L /\ L <_ N ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) -> ( K e. NN0 /\ L e. NN0 /\ K <_ L ) ) ) |
26 |
2 25
|
sylbi |
|- ( L e. ( K ... N ) -> ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) -> ( K e. NN0 /\ L e. NN0 /\ K <_ L ) ) ) |
27 |
26
|
com12 |
|- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) -> ( L e. ( K ... N ) -> ( K e. NN0 /\ L e. NN0 /\ K <_ L ) ) ) |
28 |
1 27
|
sylbi |
|- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( L e. ( K ... N ) -> ( K e. NN0 /\ L e. NN0 /\ K <_ L ) ) ) |
29 |
28
|
imp |
|- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ L e. ( K ... N ) ) -> ( K e. NN0 /\ L e. NN0 /\ K <_ L ) ) |
30 |
|
elfz2nn0 |
|- ( K e. ( 0 ... L ) <-> ( K e. NN0 /\ L e. NN0 /\ K <_ L ) ) |
31 |
29 30
|
sylibr |
|- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ L e. ( K ... N ) ) -> K e. ( 0 ... L ) ) |