Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nfv |
|- F/ t N e. NN0 |
2 |
|
nfmpt1 |
|- F/_ t ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) |
3 |
2
|
nfel1 |
|- F/ t ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) |
4 |
1 3
|
nfan |
|- F/ t ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) |
5 |
|
zex |
|- ZZ e. _V |
6 |
|
nn0ssz |
|- NN0 C_ ZZ |
7 |
|
mapss |
|- ( ( ZZ e. _V /\ NN0 C_ ZZ ) -> ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) C_ ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) ) |
8 |
5 6 7
|
mp2an |
|- ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) C_ ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |
9 |
8
|
sseli |
|- ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) -> t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) ) |
10 |
9
|
adantl |
|- ( ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) ) |
11 |
|
mzpf |
|- ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) -> ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) : ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) --> ZZ ) |
12 |
|
mptfcl |
|- ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) : ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) --> ZZ -> ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) -> A e. ZZ ) ) |
13 |
12
|
imp |
|- ( ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) : ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) --> ZZ /\ t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) ) -> A e. ZZ ) |
14 |
11 9 13
|
syl2an |
|- ( ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> A e. ZZ ) |
15 |
14
|
adantll |
|- ( ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> A e. ZZ ) |
16 |
|
eqid |
|- ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) = ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) |
17 |
16
|
fvmpt2 |
|- ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) /\ A e. ZZ ) -> ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` t ) = A ) |
18 |
10 15 17
|
syl2anc |
|- ( ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` t ) = A ) |
19 |
18
|
eqcomd |
|- ( ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> A = ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` t ) ) |
20 |
19
|
eqeq1d |
|- ( ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( A = 0 <-> ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` t ) = 0 ) ) |
21 |
20
|
ex |
|- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) -> ( A = 0 <-> ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` t ) = 0 ) ) ) |
22 |
4 21
|
ralrimi |
|- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> A. t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ( A = 0 <-> ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` t ) = 0 ) ) |
23 |
|
rabbi |
|- ( A. t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ( A = 0 <-> ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` t ) = 0 ) <-> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | A = 0 } = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` t ) = 0 } ) |
24 |
22 23
|
sylib |
|- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | A = 0 } = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` t ) = 0 } ) |
25 |
|
nfcv |
|- F/_ t ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) |
26 |
|
nfcv |
|- F/_ a ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) |
27 |
|
nfv |
|- F/ a ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` t ) = 0 |
28 |
|
nffvmpt1 |
|- F/_ t ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` a ) |
29 |
28
|
nfeq1 |
|- F/ t ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` a ) = 0 |
30 |
|
fveqeq2 |
|- ( t = a -> ( ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` t ) = 0 <-> ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` a ) = 0 ) ) |
31 |
25 26 27 29 30
|
cbvrabw |
|- { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` t ) = 0 } = { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` a ) = 0 } |
32 |
24 31
|
eqtrdi |
|- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | A = 0 } = { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` a ) = 0 } ) |
33 |
|
df-rab |
|- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` a ) = 0 } = { a | ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` a ) = 0 ) } |
34 |
32 33
|
eqtrdi |
|- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | A = 0 } = { a | ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` a ) = 0 ) } ) |
35 |
|
elmapi |
|- ( b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) -> b : ( 1 ... N ) --> NN0 ) |
36 |
|
ffn |
|- ( b : ( 1 ... N ) --> NN0 -> b Fn ( 1 ... N ) ) |
37 |
|
fnresdm |
|- ( b Fn ( 1 ... N ) -> ( b |` ( 1 ... N ) ) = b ) |
38 |
35 36 37
|
3syl |
|- ( b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) -> ( b |` ( 1 ... N ) ) = b ) |
39 |
38
|
eqeq2d |
|- ( b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) -> ( a = ( b |` ( 1 ... N ) ) <-> a = b ) ) |
40 |
|
equcom |
|- ( a = b <-> b = a ) |
41 |
39 40
|
syl6bb |
|- ( b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) -> ( a = ( b |` ( 1 ... N ) ) <-> b = a ) ) |
42 |
41
|
anbi1d |
|- ( b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) -> ( ( a = ( b |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` b ) = 0 ) <-> ( b = a /\ ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` b ) = 0 ) ) ) |
43 |
42
|
rexbiia |
|- ( E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ( a = ( b |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` b ) = 0 ) <-> E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ( b = a /\ ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` b ) = 0 ) ) |
44 |
|
fveqeq2 |
|- ( b = a -> ( ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` b ) = 0 <-> ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` a ) = 0 ) ) |
45 |
44
|
ceqsrexbv |
|- ( E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ( b = a /\ ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` b ) = 0 ) <-> ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` a ) = 0 ) ) |
46 |
43 45
|
bitr2i |
|- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` a ) = 0 ) <-> E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ( a = ( b |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` b ) = 0 ) ) |
47 |
46
|
abbii |
|- { a | ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` a ) = 0 ) } = { a | E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ( a = ( b |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` b ) = 0 ) } |
48 |
34 47
|
eqtrdi |
|- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | A = 0 } = { a | E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ( a = ( b |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` b ) = 0 ) } ) |
49 |
|
simpl |
|- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> N e. NN0 ) |
50 |
|
nn0z |
|- ( N e. NN0 -> N e. ZZ ) |
51 |
|
uzid |
|- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) ) |
52 |
50 51
|
syl |
|- ( N e. NN0 -> N e. ( ZZ>= ` N ) ) |
53 |
52
|
adantr |
|- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` N ) ) |
54 |
|
simpr |
|- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) |
55 |
|
eldioph |
|- ( ( N e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` N ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { a | E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ( a = ( b |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` b ) = 0 ) } e. ( Dioph ` N ) ) |
56 |
49 53 54 55
|
syl3anc |
|- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { a | E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ( a = ( b |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` b ) = 0 ) } e. ( Dioph ` N ) ) |
57 |
48 56
|
eqeltrd |
|- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. ( mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | A = 0 } e. ( Dioph ` N ) ) |