Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fullsubc.b |
|- B = ( Base ` C ) |
2 |
|
fullsubc.h |
|- H = ( Homf ` C ) |
3 |
|
fullsubc.c |
|- ( ph -> C e. Cat ) |
4 |
|
fullsubc.s |
|- ( ph -> S C_ B ) |
5 |
2 1
|
homffn |
|- H Fn ( B X. B ) |
6 |
1
|
fvexi |
|- B e. _V |
7 |
|
sscres |
|- ( ( H Fn ( B X. B ) /\ B e. _V ) -> ( H |` ( S X. S ) ) C_cat H ) |
8 |
5 6 7
|
mp2an |
|- ( H |` ( S X. S ) ) C_cat H |
9 |
8
|
a1i |
|- ( ph -> ( H |` ( S X. S ) ) C_cat H ) |
10 |
|
eqid |
|- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C ) |
11 |
|
eqid |
|- ( Id ` C ) = ( Id ` C ) |
12 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. S ) -> C e. Cat ) |
13 |
4
|
sselda |
|- ( ( ph /\ x e. S ) -> x e. B ) |
14 |
1 10 11 12 13
|
catidcl |
|- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) |
15 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ x e. S ) -> x e. S ) |
16 |
15 15
|
ovresd |
|- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) = ( x H x ) ) |
17 |
2 1 10 13 13
|
homfval |
|- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x H x ) = ( x ( Hom ` C ) x ) ) |
18 |
16 17
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) = ( x ( Hom ` C ) x ) ) |
19 |
14 18
|
eleqtrrd |
|- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) ) |
20 |
|
eqid |
|- ( comp ` C ) = ( comp ` C ) |
21 |
12
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> C e. Cat ) |
22 |
13
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> x e. B ) |
23 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. S ) -> S C_ B ) |
24 |
23
|
sselda |
|- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> y e. B ) |
25 |
24
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> y e. B ) |
26 |
25
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> y e. B ) |
27 |
23
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> S C_ B ) |
28 |
27
|
sselda |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> z e. B ) |
29 |
28
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> z e. B ) |
30 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ) |
31 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) |
32 |
1 10 20 21 22 26 29 30 31
|
catcocl |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. ( comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( Hom ` C ) z ) ) |
33 |
15
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> x e. S ) |
34 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> z e. S ) |
35 |
33 34
|
ovresd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) = ( x H z ) ) |
36 |
2 1 10 22 29
|
homfval |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( x H z ) = ( x ( Hom ` C ) z ) ) |
37 |
35 36
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) = ( x ( Hom ` C ) z ) ) |
38 |
32 37
|
eleqtrrd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. ( comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) |
39 |
38
|
ralrimivva |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( g ( <. x , y >. ( comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) |
40 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> x e. S ) |
41 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> y e. S ) |
42 |
40 41
|
ovresd |
|- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) = ( x H y ) ) |
43 |
13
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> x e. B ) |
44 |
2 1 10 43 24
|
homfval |
|- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> ( x H y ) = ( x ( Hom ` C ) y ) ) |
45 |
42 44
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) = ( x ( Hom ` C ) y ) ) |
46 |
45
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) = ( x ( Hom ` C ) y ) ) |
47 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> y e. S ) |
48 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> z e. S ) |
49 |
47 48
|
ovresd |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) = ( y H z ) ) |
50 |
2 1 10 25 28
|
homfval |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( y H z ) = ( y ( Hom ` C ) z ) ) |
51 |
49 50
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) = ( y ( Hom ` C ) z ) ) |
52 |
51
|
raleqdv |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. ( comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) <-> A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( g ( <. x , y >. ( comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) ) |
53 |
46 52
|
raleqbidv |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. ( comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) <-> A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( g ( <. x , y >. ( comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) ) |
54 |
39 53
|
mpbird |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. ( comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) |
55 |
54
|
ralrimiva |
|- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> A. z e. S A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. ( comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) |
56 |
55
|
ralrimiva |
|- ( ( ph /\ x e. S ) -> A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. ( comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) |
57 |
19 56
|
jca |
|- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. ( comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) ) |
58 |
57
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. x e. S ( ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. ( comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) ) |
59 |
|
xpss12 |
|- ( ( S C_ B /\ S C_ B ) -> ( S X. S ) C_ ( B X. B ) ) |
60 |
4 4 59
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( S X. S ) C_ ( B X. B ) ) |
61 |
|
fnssres |
|- ( ( H Fn ( B X. B ) /\ ( S X. S ) C_ ( B X. B ) ) -> ( H |` ( S X. S ) ) Fn ( S X. S ) ) |
62 |
5 60 61
|
sylancr |
|- ( ph -> ( H |` ( S X. S ) ) Fn ( S X. S ) ) |
63 |
2 11 20 3 62
|
issubc2 |
|- ( ph -> ( ( H |` ( S X. S ) ) e. ( Subcat ` C ) <-> ( ( H |` ( S X. S ) ) C_cat H /\ A. x e. S ( ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. ( comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) ) ) ) |
64 |
9 58 63
|
mpbir2and |
|- ( ph -> ( H |` ( S X. S ) ) e. ( Subcat ` C ) ) |