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Theorem gastacos

Description: Write the coset relation for the stabilizer subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015)

Ref Expression
Hypotheses gasta.1
|- X = ( Base ` G )
gasta.2
|- H = { u e. X | ( u .(+) A ) = A }
orbsta.r
|- .~ = ( G ~QG H )
Assertion gastacos
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B .~ C <-> ( B .(+) A ) = ( C .(+) A ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 gasta.1
 |-  X = ( Base ` G )
2 gasta.2
 |-  H = { u e. X | ( u .(+) A ) = A }
3 orbsta.r
 |-  .~ = ( G ~QG H )
4 1 2 gastacl
 |-  ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> H e. ( SubGrp ` G ) )
5 4 adantr
 |-  ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> H e. ( SubGrp ` G ) )
6 subgrcl
 |-  ( H e. ( SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
7 5 6 syl
 |-  ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> G e. Grp )
8 1 subgss
 |-  ( H e. ( SubGrp ` G ) -> H C_ X )
9 5 8 syl
 |-  ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> H C_ X )
10 eqid
 |-  ( invg ` G ) = ( invg ` G )
11 eqid
 |-  ( +g ` G ) = ( +g ` G )
12 1 10 11 3 eqgval
 |-  ( ( G e. Grp /\ H C_ X ) -> ( B .~ C <-> ( B e. X /\ C e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H ) ) )
13 7 9 12 syl2anc
 |-  ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B .~ C <-> ( B e. X /\ C e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H ) ) )
14 df-3an
 |-  ( ( B e. X /\ C e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H ) <-> ( ( B e. X /\ C e. X ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H ) )
15 13 14 bitrdi
 |-  ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B .~ C <-> ( ( B e. X /\ C e. X ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H ) ) )
16 simpr
 |-  ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B e. X /\ C e. X ) )
17 16 biantrurd
 |-  ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H <-> ( ( B e. X /\ C e. X ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H ) ) )
18 simpll
 |-  ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
19 simprl
 |-  ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> B e. X )
20 1 10 grpinvcl
 |-  ( ( G e. Grp /\ B e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` B ) e. X )
21 7 19 20 syl2anc
 |-  ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( invg ` G ) ` B ) e. X )
22 simprr
 |-  ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> C e. X )
23 simplr
 |-  ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> A e. Y )
24 1 11 gaass
 |-  ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) e. X /\ C e. X /\ A e. Y ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) .(+) A ) = ( ( ( invg ` G ) ` B ) .(+) ( C .(+) A ) ) )
25 18 21 22 23 24 syl13anc
 |-  ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) .(+) A ) = ( ( ( invg ` G ) ` B ) .(+) ( C .(+) A ) ) )
26 25 eqeq1d
 |-  ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) .(+) A ) = A <-> ( ( ( invg ` G ) ` B ) .(+) ( C .(+) A ) ) = A ) )
27 1 11 grpcl
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` B ) e. X /\ C e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. X )
28 7 21 22 27 syl3anc
 |-  ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. X )
29 oveq1
 |-  ( u = ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) -> ( u .(+) A ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) .(+) A ) )
30 29 eqeq1d
 |-  ( u = ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) -> ( ( u .(+) A ) = A <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) .(+) A ) = A ) )
31 30 2 elrab2
 |-  ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. X /\ ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) .(+) A ) = A ) )
32 31 baib
 |-  ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. X -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) .(+) A ) = A ) )
33 28 32 syl
 |-  ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) .(+) A ) = A ) )
34 1 gaf
 |-  ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y )
35 18 34 syl
 |-  ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y )
36 35 22 23 fovrnd
 |-  ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( C .(+) A ) e. Y )
37 1 10 gacan
 |-  ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( B e. X /\ A e. Y /\ ( C .(+) A ) e. Y ) ) -> ( ( B .(+) A ) = ( C .(+) A ) <-> ( ( ( invg ` G ) ` B ) .(+) ( C .(+) A ) ) = A ) )
38 18 19 23 36 37 syl13anc
 |-  ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( B .(+) A ) = ( C .(+) A ) <-> ( ( ( invg ` G ) ` B ) .(+) ( C .(+) A ) ) = A ) )
39 26 33 38 3bitr4d
 |-  ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H <-> ( B .(+) A ) = ( C .(+) A ) ) )
40 15 17 39 3bitr2d
 |-  ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B .~ C <-> ( B .(+) A ) = ( C .(+) A ) ) )