Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
gasta.1 |
|- X = ( Base ` G ) |
2 |
|
gasta.2 |
|- H = { u e. X | ( u .(+) A ) = A } |
3 |
|
orbsta.r |
|- .~ = ( G ~QG H ) |
4 |
1 2
|
gastacl |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) -> H e. ( SubGrp ` G ) ) |
5 |
4
|
adantr |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> H e. ( SubGrp ` G ) ) |
6 |
|
subgrcl |
|- ( H e. ( SubGrp ` G ) -> G e. Grp ) |
7 |
5 6
|
syl |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> G e. Grp ) |
8 |
1
|
subgss |
|- ( H e. ( SubGrp ` G ) -> H C_ X ) |
9 |
5 8
|
syl |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> H C_ X ) |
10 |
|
eqid |
|- ( invg ` G ) = ( invg ` G ) |
11 |
|
eqid |
|- ( +g ` G ) = ( +g ` G ) |
12 |
1 10 11 3
|
eqgval |
|- ( ( G e. Grp /\ H C_ X ) -> ( B .~ C <-> ( B e. X /\ C e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H ) ) ) |
13 |
7 9 12
|
syl2anc |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B .~ C <-> ( B e. X /\ C e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H ) ) ) |
14 |
|
df-3an |
|- ( ( B e. X /\ C e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H ) <-> ( ( B e. X /\ C e. X ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H ) ) |
15 |
13 14
|
bitrdi |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B .~ C <-> ( ( B e. X /\ C e. X ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H ) ) ) |
16 |
|
simpr |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B e. X /\ C e. X ) ) |
17 |
16
|
biantrurd |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H <-> ( ( B e. X /\ C e. X ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H ) ) ) |
18 |
|
simpll |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) ) |
19 |
|
simprl |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> B e. X ) |
20 |
1 10
|
grpinvcl |
|- ( ( G e. Grp /\ B e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` B ) e. X ) |
21 |
7 19 20
|
syl2anc |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( invg ` G ) ` B ) e. X ) |
22 |
|
simprr |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> C e. X ) |
23 |
|
simplr |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> A e. Y ) |
24 |
1 11
|
gaass |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) e. X /\ C e. X /\ A e. Y ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) .(+) A ) = ( ( ( invg ` G ) ` B ) .(+) ( C .(+) A ) ) ) |
25 |
18 21 22 23 24
|
syl13anc |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) .(+) A ) = ( ( ( invg ` G ) ` B ) .(+) ( C .(+) A ) ) ) |
26 |
25
|
eqeq1d |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) .(+) A ) = A <-> ( ( ( invg ` G ) ` B ) .(+) ( C .(+) A ) ) = A ) ) |
27 |
1 11
|
grpcl |
|- ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` B ) e. X /\ C e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. X ) |
28 |
7 21 22 27
|
syl3anc |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. X ) |
29 |
|
oveq1 |
|- ( u = ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) -> ( u .(+) A ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) .(+) A ) ) |
30 |
29
|
eqeq1d |
|- ( u = ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) -> ( ( u .(+) A ) = A <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) .(+) A ) = A ) ) |
31 |
30 2
|
elrab2 |
|- ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. X /\ ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) .(+) A ) = A ) ) |
32 |
31
|
baib |
|- ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. X -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) .(+) A ) = A ) ) |
33 |
28 32
|
syl |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) .(+) A ) = A ) ) |
34 |
1
|
gaf |
|- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y ) |
35 |
18 34
|
syl |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y ) |
36 |
35 22 23
|
fovrnd |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( C .(+) A ) e. Y ) |
37 |
1 10
|
gacan |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( B e. X /\ A e. Y /\ ( C .(+) A ) e. Y ) ) -> ( ( B .(+) A ) = ( C .(+) A ) <-> ( ( ( invg ` G ) ` B ) .(+) ( C .(+) A ) ) = A ) ) |
38 |
18 19 23 36 37
|
syl13anc |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( B .(+) A ) = ( C .(+) A ) <-> ( ( ( invg ` G ) ` B ) .(+) ( C .(+) A ) ) = A ) ) |
39 |
26 33 38
|
3bitr4d |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) ( +g ` G ) C ) e. H <-> ( B .(+) A ) = ( C .(+) A ) ) ) |
40 |
15 17 39
|
3bitr2d |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ A e. Y ) /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B .~ C <-> ( B .(+) A ) = ( C .(+) A ) ) ) |