Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
imasnopn.1 |
|- X = U. J |
2 |
|
nfv |
|- F/ y ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) |
3 |
|
nfcv |
|- F/_ y ( R " { A } ) |
4 |
|
nfrab1 |
|- F/_ y { y e. U. K | <. A , y >. e. R } |
5 |
|
simprl |
|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) ) |
6 |
|
eqid |
|- U. ( J tX K ) = U. ( J tX K ) |
7 |
6
|
cldss |
|- ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) -> R C_ U. ( J tX K ) ) |
8 |
5 7
|
syl |
|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> R C_ U. ( J tX K ) ) |
9 |
|
eqid |
|- U. K = U. K |
10 |
1 9
|
txuni |
|- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( X X. U. K ) = U. ( J tX K ) ) |
11 |
10
|
adantr |
|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( X X. U. K ) = U. ( J tX K ) ) |
12 |
8 11
|
sseqtrrd |
|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> R C_ ( X X. U. K ) ) |
13 |
|
imass1 |
|- ( R C_ ( X X. U. K ) -> ( R " { A } ) C_ ( ( X X. U. K ) " { A } ) ) |
14 |
12 13
|
syl |
|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) C_ ( ( X X. U. K ) " { A } ) ) |
15 |
|
xpimasn |
|- ( A e. X -> ( ( X X. U. K ) " { A } ) = U. K ) |
16 |
15
|
ad2antll |
|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( ( X X. U. K ) " { A } ) = U. K ) |
17 |
14 16
|
sseqtrd |
|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) C_ U. K ) |
18 |
17
|
sseld |
|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) -> y e. U. K ) ) |
19 |
18
|
pm4.71rd |
|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> ( y e. U. K /\ y e. ( R " { A } ) ) ) ) |
20 |
|
elimasng |
|- ( ( A e. X /\ y e. _V ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> <. A , y >. e. R ) ) |
21 |
20
|
elvd |
|- ( A e. X -> ( y e. ( R " { A } ) <-> <. A , y >. e. R ) ) |
22 |
21
|
ad2antll |
|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> <. A , y >. e. R ) ) |
23 |
22
|
anbi2d |
|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( ( y e. U. K /\ y e. ( R " { A } ) ) <-> ( y e. U. K /\ <. A , y >. e. R ) ) ) |
24 |
19 23
|
bitrd |
|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> ( y e. U. K /\ <. A , y >. e. R ) ) ) |
25 |
|
rabid |
|- ( y e. { y e. U. K | <. A , y >. e. R } <-> ( y e. U. K /\ <. A , y >. e. R ) ) |
26 |
24 25
|
bitr4di |
|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> y e. { y e. U. K | <. A , y >. e. R } ) ) |
27 |
2 3 4 26
|
eqrd |
|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) = { y e. U. K | <. A , y >. e. R } ) |
28 |
|
eqid |
|- ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) = ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) |
29 |
28
|
mptpreima |
|- ( `' ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) " R ) = { y e. U. K | <. A , y >. e. R } |
30 |
27 29
|
eqtr4di |
|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) = ( `' ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) " R ) ) |
31 |
9
|
toptopon |
|- ( K e. Top <-> K e. ( TopOn ` U. K ) ) |
32 |
31
|
biimpi |
|- ( K e. Top -> K e. ( TopOn ` U. K ) ) |
33 |
32
|
ad2antlr |
|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> K e. ( TopOn ` U. K ) ) |
34 |
1
|
toptopon |
|- ( J e. Top <-> J e. ( TopOn ` X ) ) |
35 |
34
|
biimpi |
|- ( J e. Top -> J e. ( TopOn ` X ) ) |
36 |
35
|
ad2antrr |
|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> J e. ( TopOn ` X ) ) |
37 |
|
simprr |
|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> A e. X ) |
38 |
33 36 37
|
cnmptc |
|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. U. K |-> A ) e. ( K Cn J ) ) |
39 |
33
|
cnmptid |
|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. U. K |-> y ) e. ( K Cn K ) ) |
40 |
33 38 39
|
cnmpt1t |
|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) e. ( K Cn ( J tX K ) ) ) |
41 |
|
cnclima |
|- ( ( ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) e. ( K Cn ( J tX K ) ) /\ R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) ) -> ( `' ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) " R ) e. ( Clsd ` K ) ) |
42 |
40 5 41
|
syl2anc |
|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( `' ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) " R ) e. ( Clsd ` K ) ) |
43 |
30 42
|
eqeltrd |
|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) e. ( Clsd ` K ) ) |