Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
imasvscaf.u |
|- ( ph -> U = ( F "s R ) ) |
2 |
|
imasvscaf.v |
|- ( ph -> V = ( Base ` R ) ) |
3 |
|
imasvscaf.f |
|- ( ph -> F : V -onto-> B ) |
4 |
|
imasvscaf.r |
|- ( ph -> R e. Z ) |
5 |
|
imasvscaf.g |
|- G = ( Scalar ` R ) |
6 |
|
imasvscaf.k |
|- K = ( Base ` G ) |
7 |
|
imasvscaf.q |
|- .x. = ( .s ` R ) |
8 |
|
imasvscaf.s |
|- .xb = ( .s ` U ) |
9 |
|
imasvscaf.e |
|- ( ( ph /\ ( p e. K /\ a e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` q ) -> ( F ` ( p .x. a ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) ) |
10 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
imasvscafn |
|- ( ph -> .xb Fn ( K X. B ) ) |
11 |
|
fnfun |
|- ( .xb Fn ( K X. B ) -> Fun .xb ) |
12 |
10 11
|
syl |
|- ( ph -> Fun .xb ) |
13 |
12
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ph /\ X e. K /\ Y e. V ) -> Fun .xb ) |
14 |
|
eqidd |
|- ( q = Y -> K = K ) |
15 |
|
fveq2 |
|- ( q = Y -> ( F ` q ) = ( F ` Y ) ) |
16 |
15
|
sneqd |
|- ( q = Y -> { ( F ` q ) } = { ( F ` Y ) } ) |
17 |
|
oveq2 |
|- ( q = Y -> ( p .x. q ) = ( p .x. Y ) ) |
18 |
17
|
fveq2d |
|- ( q = Y -> ( F ` ( p .x. q ) ) = ( F ` ( p .x. Y ) ) ) |
19 |
14 16 18
|
mpoeq123dv |
|- ( q = Y -> ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) = ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) ) |
20 |
19
|
ssiun2s |
|- ( Y e. V -> ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) C_ U_ q e. V ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) ) |
21 |
20
|
3ad2ant3 |
|- ( ( ph /\ X e. K /\ Y e. V ) -> ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) C_ U_ q e. V ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) ) |
22 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
imasvsca |
|- ( ph -> .xb = U_ q e. V ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) ) |
23 |
22
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ph /\ X e. K /\ Y e. V ) -> .xb = U_ q e. V ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) ) |
24 |
21 23
|
sseqtrrd |
|- ( ( ph /\ X e. K /\ Y e. V ) -> ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) C_ .xb ) |
25 |
|
simp2 |
|- ( ( ph /\ X e. K /\ Y e. V ) -> X e. K ) |
26 |
|
fvex |
|- ( F ` Y ) e. _V |
27 |
26
|
snid |
|- ( F ` Y ) e. { ( F ` Y ) } |
28 |
|
opelxpi |
|- ( ( X e. K /\ ( F ` Y ) e. { ( F ` Y ) } ) -> <. X , ( F ` Y ) >. e. ( K X. { ( F ` Y ) } ) ) |
29 |
25 27 28
|
sylancl |
|- ( ( ph /\ X e. K /\ Y e. V ) -> <. X , ( F ` Y ) >. e. ( K X. { ( F ` Y ) } ) ) |
30 |
|
eqid |
|- ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) = ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) |
31 |
|
fvex |
|- ( F ` ( p .x. Y ) ) e. _V |
32 |
30 31
|
dmmpo |
|- dom ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) = ( K X. { ( F ` Y ) } ) |
33 |
29 32
|
eleqtrrdi |
|- ( ( ph /\ X e. K /\ Y e. V ) -> <. X , ( F ` Y ) >. e. dom ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) ) |
34 |
|
funssfv |
|- ( ( Fun .xb /\ ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) C_ .xb /\ <. X , ( F ` Y ) >. e. dom ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) ) -> ( .xb ` <. X , ( F ` Y ) >. ) = ( ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) ` <. X , ( F ` Y ) >. ) ) |
35 |
13 24 33 34
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ X e. K /\ Y e. V ) -> ( .xb ` <. X , ( F ` Y ) >. ) = ( ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) ` <. X , ( F ` Y ) >. ) ) |
36 |
|
df-ov |
|- ( X .xb ( F ` Y ) ) = ( .xb ` <. X , ( F ` Y ) >. ) |
37 |
|
df-ov |
|- ( X ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) ( F ` Y ) ) = ( ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) ` <. X , ( F ` Y ) >. ) |
38 |
35 36 37
|
3eqtr4g |
|- ( ( ph /\ X e. K /\ Y e. V ) -> ( X .xb ( F ` Y ) ) = ( X ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) ( F ` Y ) ) ) |
39 |
|
fvoveq1 |
|- ( p = X -> ( F ` ( p .x. Y ) ) = ( F ` ( X .x. Y ) ) ) |
40 |
|
eqidd |
|- ( x = ( F ` Y ) -> ( F ` ( X .x. Y ) ) = ( F ` ( X .x. Y ) ) ) |
41 |
|
fvex |
|- ( F ` ( X .x. Y ) ) e. _V |
42 |
39 40 30 41
|
ovmpo |
|- ( ( X e. K /\ ( F ` Y ) e. { ( F ` Y ) } ) -> ( X ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) ( F ` Y ) ) = ( F ` ( X .x. Y ) ) ) |
43 |
25 27 42
|
sylancl |
|- ( ( ph /\ X e. K /\ Y e. V ) -> ( X ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) ( F ` Y ) ) = ( F ` ( X .x. Y ) ) ) |
44 |
38 43
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ X e. K /\ Y e. V ) -> ( X .xb ( F ` Y ) ) = ( F ` ( X .x. Y ) ) ) |