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Theorem isclo2

Description: A set A is clopen iff for every point x in the space there is a neighborhood y of x which is either disjoint from A or contained in A . (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015)

Ref Expression
Hypothesis isclo.1 
|- X = U. J
Assertion isclo2 
|- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( A e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) <-> A. x e. X E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( z e. A -> y C_ A ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 isclo.1 
 |-  X = U. J
2 1 isclo 
 |-  ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( A e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) <-> A. x e. X E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) ) )
3 eleq1w 
 |-  ( z = w -> ( z e. A <-> w e. A ) )
4 3 bibi2d 
 |-  ( z = w -> ( ( x e. A <-> z e. A ) <-> ( x e. A <-> w e. A ) ) )
5 4 cbvralvw 
 |-  ( A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) <-> A. w e. y ( x e. A <-> w e. A ) )
6 5 anbi2i 
 |-  ( ( A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) <-> ( A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) /\ A. w e. y ( x e. A <-> w e. A ) ) )
7 pm4.24 
 |-  ( A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) <-> ( A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) )
8 raaanv 
 |-  ( A. z e. y A. w e. y ( ( x e. A <-> z e. A ) /\ ( x e. A <-> w e. A ) ) <-> ( A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) /\ A. w e. y ( x e. A <-> w e. A ) ) )
9 6 7 8 3bitr4i 
 |-  ( A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) <-> A. z e. y A. w e. y ( ( x e. A <-> z e. A ) /\ ( x e. A <-> w e. A ) ) )
10 bibi1 
 |-  ( ( x e. A <-> z e. A ) -> ( ( x e. A <-> w e. A ) <-> ( z e. A <-> w e. A ) ) )
11 10 biimpa 
 |-  ( ( ( x e. A <-> z e. A ) /\ ( x e. A <-> w e. A ) ) -> ( z e. A <-> w e. A ) )
12 11 biimpcd 
 |-  ( z e. A -> ( ( ( x e. A <-> z e. A ) /\ ( x e. A <-> w e. A ) ) -> w e. A ) )
13 12 ralimdv 
 |-  ( z e. A -> ( A. w e. y ( ( x e. A <-> z e. A ) /\ ( x e. A <-> w e. A ) ) -> A. w e. y w e. A ) )
14 13 com12 
 |-  ( A. w e. y ( ( x e. A <-> z e. A ) /\ ( x e. A <-> w e. A ) ) -> ( z e. A -> A. w e. y w e. A ) )
15 dfss3 
 |-  ( y C_ A <-> A. w e. y w e. A )
16 14 15 syl6ibr 
 |-  ( A. w e. y ( ( x e. A <-> z e. A ) /\ ( x e. A <-> w e. A ) ) -> ( z e. A -> y C_ A ) )
17 16 ralimi 
 |-  ( A. z e. y A. w e. y ( ( x e. A <-> z e. A ) /\ ( x e. A <-> w e. A ) ) -> A. z e. y ( z e. A -> y C_ A ) )
18 9 17 sylbi 
 |-  ( A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) -> A. z e. y ( z e. A -> y C_ A ) )
19 eleq1w 
 |-  ( z = x -> ( z e. A <-> x e. A ) )
20 19 imbi1d 
 |-  ( z = x -> ( ( z e. A -> y C_ A ) <-> ( x e. A -> y C_ A ) ) )
21 20 rspcv 
 |-  ( x e. y -> ( A. z e. y ( z e. A -> y C_ A ) -> ( x e. A -> y C_ A ) ) )
22 dfss3 
 |-  ( y C_ A <-> A. z e. y z e. A )
23 22 imbi2i 
 |-  ( ( x e. A -> y C_ A ) <-> ( x e. A -> A. z e. y z e. A ) )
24 r19.21v 
 |-  ( A. z e. y ( x e. A -> z e. A ) <-> ( x e. A -> A. z e. y z e. A ) )
25 23 24 bitr4i 
 |-  ( ( x e. A -> y C_ A ) <-> A. z e. y ( x e. A -> z e. A ) )
26 21 25 syl6ib 
 |-  ( x e. y -> ( A. z e. y ( z e. A -> y C_ A ) -> A. z e. y ( x e. A -> z e. A ) ) )
27 ssel 
 |-  ( y C_ A -> ( x e. y -> x e. A ) )
28 27 com12 
 |-  ( x e. y -> ( y C_ A -> x e. A ) )
29 28 imim2d 
 |-  ( x e. y -> ( ( z e. A -> y C_ A ) -> ( z e. A -> x e. A ) ) )
30 29 ralimdv 
 |-  ( x e. y -> ( A. z e. y ( z e. A -> y C_ A ) -> A. z e. y ( z e. A -> x e. A ) ) )
31 26 30 jcad 
 |-  ( x e. y -> ( A. z e. y ( z e. A -> y C_ A ) -> ( A. z e. y ( x e. A -> z e. A ) /\ A. z e. y ( z e. A -> x e. A ) ) ) )
32 ralbiim 
 |-  ( A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) <-> ( A. z e. y ( x e. A -> z e. A ) /\ A. z e. y ( z e. A -> x e. A ) ) )
33 31 32 syl6ibr 
 |-  ( x e. y -> ( A. z e. y ( z e. A -> y C_ A ) -> A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) )
34 18 33 impbid2 
 |-  ( x e. y -> ( A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) <-> A. z e. y ( z e. A -> y C_ A ) ) )
35 34 pm5.32i 
 |-  ( ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) <-> ( x e. y /\ A. z e. y ( z e. A -> y C_ A ) ) )
36 35 rexbii 
 |-  ( E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) <-> E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( z e. A -> y C_ A ) ) )
37 36 ralbii 
 |-  ( A. x e. X E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) <-> A. x e. X E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( z e. A -> y C_ A ) ) )
38 2 37 bitrdi 
 |-  ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( A e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) <-> A. x e. X E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( z e. A -> y C_ A ) ) ) )