Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
tgpsubcn.2 |
|- J = ( TopOpen ` G ) |
2 |
|
tgpsubcn.3 |
|- .- = ( -g ` G ) |
3 |
|
tgpgrp |
|- ( G e. TopGrp -> G e. Grp ) |
4 |
|
tgptps |
|- ( G e. TopGrp -> G e. TopSp ) |
5 |
1 2
|
tgpsubcn |
|- ( G e. TopGrp -> .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) |
6 |
3 4 5
|
3jca |
|- ( G e. TopGrp -> ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) ) |
7 |
|
simp1 |
|- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> G e. Grp ) |
8 |
|
grpmnd |
|- ( G e. Grp -> G e. Mnd ) |
9 |
8
|
3ad2ant1 |
|- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> G e. Mnd ) |
10 |
|
simp2 |
|- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> G e. TopSp ) |
11 |
|
eqid |
|- ( Base ` G ) = ( Base ` G ) |
12 |
|
eqid |
|- ( +g ` G ) = ( +g ` G ) |
13 |
|
eqid |
|- ( invg ` G ) = ( invg ` G ) |
14 |
7
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) /\ x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) -> G e. Grp ) |
15 |
|
simp2 |
|- ( ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) /\ x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) -> x e. ( Base ` G ) ) |
16 |
|
simp3 |
|- ( ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) /\ x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) -> y e. ( Base ` G ) ) |
17 |
11 12 2 13 14 15 16
|
grpsubinv |
|- ( ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) /\ x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) -> ( x .- ( ( invg ` G ) ` y ) ) = ( x ( +g ` G ) y ) ) |
18 |
17
|
mpoeq3dva |
|- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( x e. ( Base ` G ) , y e. ( Base ` G ) |-> ( x .- ( ( invg ` G ) ` y ) ) ) = ( x e. ( Base ` G ) , y e. ( Base ` G ) |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) ) |
19 |
|
eqid |
|- ( +f ` G ) = ( +f ` G ) |
20 |
11 12 19
|
plusffval |
|- ( +f ` G ) = ( x e. ( Base ` G ) , y e. ( Base ` G ) |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) |
21 |
18 20
|
eqtr4di |
|- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( x e. ( Base ` G ) , y e. ( Base ` G ) |-> ( x .- ( ( invg ` G ) ` y ) ) ) = ( +f ` G ) ) |
22 |
11 1
|
istps |
|- ( G e. TopSp <-> J e. ( TopOn ` ( Base ` G ) ) ) |
23 |
10 22
|
sylib |
|- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> J e. ( TopOn ` ( Base ` G ) ) ) |
24 |
23 23
|
cnmpt1st |
|- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( x e. ( Base ` G ) , y e. ( Base ` G ) |-> x ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) |
25 |
23 23
|
cnmpt2nd |
|- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( x e. ( Base ` G ) , y e. ( Base ` G ) |-> y ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) |
26 |
11 13
|
grpinvf |
|- ( G e. Grp -> ( invg ` G ) : ( Base ` G ) --> ( Base ` G ) ) |
27 |
26
|
3ad2ant1 |
|- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( invg ` G ) : ( Base ` G ) --> ( Base ` G ) ) |
28 |
27
|
feqmptd |
|- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( invg ` G ) = ( x e. ( Base ` G ) |-> ( ( invg ` G ) ` x ) ) ) |
29 |
|
eqid |
|- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G ) |
30 |
11 2 13 29
|
grpinvval2 |
|- ( ( G e. Grp /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) = ( ( 0g ` G ) .- x ) ) |
31 |
7 30
|
sylan |
|- ( ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) = ( ( 0g ` G ) .- x ) ) |
32 |
31
|
mpteq2dva |
|- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( x e. ( Base ` G ) |-> ( ( invg ` G ) ` x ) ) = ( x e. ( Base ` G ) |-> ( ( 0g ` G ) .- x ) ) ) |
33 |
28 32
|
eqtrd |
|- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( invg ` G ) = ( x e. ( Base ` G ) |-> ( ( 0g ` G ) .- x ) ) ) |
34 |
11 29
|
grpidcl |
|- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. ( Base ` G ) ) |
35 |
34
|
3ad2ant1 |
|- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( 0g ` G ) e. ( Base ` G ) ) |
36 |
23 23 35
|
cnmptc |
|- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( x e. ( Base ` G ) |-> ( 0g ` G ) ) e. ( J Cn J ) ) |
37 |
23
|
cnmptid |
|- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( x e. ( Base ` G ) |-> x ) e. ( J Cn J ) ) |
38 |
|
simp3 |
|- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) |
39 |
23 36 37 38
|
cnmpt12f |
|- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( x e. ( Base ` G ) |-> ( ( 0g ` G ) .- x ) ) e. ( J Cn J ) ) |
40 |
33 39
|
eqeltrd |
|- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( invg ` G ) e. ( J Cn J ) ) |
41 |
23 23 25 40
|
cnmpt21f |
|- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( x e. ( Base ` G ) , y e. ( Base ` G ) |-> ( ( invg ` G ) ` y ) ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) |
42 |
23 23 24 41 38
|
cnmpt22f |
|- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( x e. ( Base ` G ) , y e. ( Base ` G ) |-> ( x .- ( ( invg ` G ) ` y ) ) ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) |
43 |
21 42
|
eqeltrrd |
|- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( +f ` G ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) |
44 |
19 1
|
istmd |
|- ( G e. TopMnd <-> ( G e. Mnd /\ G e. TopSp /\ ( +f ` G ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) ) |
45 |
9 10 43 44
|
syl3anbrc |
|- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> G e. TopMnd ) |
46 |
1 13
|
istgp |
|- ( G e. TopGrp <-> ( G e. Grp /\ G e. TopMnd /\ ( invg ` G ) e. ( J Cn J ) ) ) |
47 |
7 45 40 46
|
syl3anbrc |
|- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> G e. TopGrp ) |
48 |
6 47
|
impbii |
|- ( G e. TopGrp <-> ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) ) |