Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
tgpsubcn.2 |
⊢ 𝐽 = ( TopOpen ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
tgpsubcn.3 |
⊢ − = ( -g ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
tgpgrp |
⊢ ( 𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp ) |
4 |
|
tgptps |
⊢ ( 𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopSp ) |
5 |
1 2
|
tgpsubcn |
⊢ ( 𝐺 ∈ TopGrp → − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) |
6 |
3 4 5
|
3jca |
⊢ ( 𝐺 ∈ TopGrp → ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) ) |
7 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) → 𝐺 ∈ Grp ) |
8 |
|
grpmnd |
⊢ ( 𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd ) |
9 |
8
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) → 𝐺 ∈ Mnd ) |
10 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) → 𝐺 ∈ TopSp ) |
11 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝐺 ) = ( Base ‘ 𝐺 ) |
12 |
|
eqid |
⊢ ( +g ‘ 𝐺 ) = ( +g ‘ 𝐺 ) |
13 |
|
eqid |
⊢ ( invg ‘ 𝐺 ) = ( invg ‘ 𝐺 ) |
14 |
7
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ) → 𝐺 ∈ Grp ) |
15 |
|
simp2 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ) → 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ) |
16 |
|
simp3 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ) → 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ) |
17 |
11 12 2 13 14 15 16
|
grpsubinv |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑥 − ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑦 ) ) = ( 𝑥 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑦 ) ) |
18 |
17
|
mpoeq3dva |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) , 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ↦ ( 𝑥 − ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑦 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) , 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ↦ ( 𝑥 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑦 ) ) ) |
19 |
|
eqid |
⊢ ( +𝑓 ‘ 𝐺 ) = ( +𝑓 ‘ 𝐺 ) |
20 |
11 12 19
|
plusffval |
⊢ ( +𝑓 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) , 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ↦ ( 𝑥 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑦 ) ) |
21 |
18 20
|
eqtr4di |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) , 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ↦ ( 𝑥 − ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑦 ) ) ) = ( +𝑓 ‘ 𝐺 ) ) |
22 |
11 1
|
istps |
⊢ ( 𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ ( Base ‘ 𝐺 ) ) ) |
23 |
10 22
|
sylib |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) → 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ ( Base ‘ 𝐺 ) ) ) |
24 |
23 23
|
cnmpt1st |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) , 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ↦ 𝑥 ) ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) |
25 |
23 23
|
cnmpt2nd |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) , 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ↦ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) |
26 |
11 13
|
grpinvf |
⊢ ( 𝐺 ∈ Grp → ( invg ‘ 𝐺 ) : ( Base ‘ 𝐺 ) ⟶ ( Base ‘ 𝐺 ) ) |
27 |
26
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) → ( invg ‘ 𝐺 ) : ( Base ‘ 𝐺 ) ⟶ ( Base ‘ 𝐺 ) ) |
28 |
27
|
feqmptd |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) → ( invg ‘ 𝐺 ) = ( 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ↦ ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ) ) |
29 |
|
eqid |
⊢ ( 0g ‘ 𝐺 ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) |
30 |
11 2 13 29
|
grpinvval2 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ) → ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 0g ‘ 𝐺 ) − 𝑥 ) ) |
31 |
7 30
|
sylan |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ) → ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 0g ‘ 𝐺 ) − 𝑥 ) ) |
32 |
31
|
mpteq2dva |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ↦ ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ↦ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) − 𝑥 ) ) ) |
33 |
28 32
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) → ( invg ‘ 𝐺 ) = ( 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ↦ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) − 𝑥 ) ) ) |
34 |
11 29
|
grpidcl |
⊢ ( 𝐺 ∈ Grp → ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ) |
35 |
34
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) → ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ) |
36 |
23 23 35
|
cnmptc |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ↦ ( 0g ‘ 𝐺 ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ) |
37 |
23
|
cnmptid |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ↦ 𝑥 ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ) |
38 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) → − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) |
39 |
23 36 37 38
|
cnmpt12f |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ↦ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) − 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ) |
40 |
33 39
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) → ( invg ‘ 𝐺 ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ) |
41 |
23 23 25 40
|
cnmpt21f |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) , 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ↦ ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) |
42 |
23 23 24 41 38
|
cnmpt22f |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) , 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ↦ ( 𝑥 − ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) |
43 |
21 42
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) → ( +𝑓 ‘ 𝐺 ) ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) |
44 |
19 1
|
istmd |
⊢ ( 𝐺 ∈ TopMnd ↔ ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ ( +𝑓 ‘ 𝐺 ) ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) ) |
45 |
9 10 43 44
|
syl3anbrc |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) → 𝐺 ∈ TopMnd ) |
46 |
1 13
|
istgp |
⊢ ( 𝐺 ∈ TopGrp ↔ ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopMnd ∧ ( invg ‘ 𝐺 ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ) ) |
47 |
7 45 40 46
|
syl3anbrc |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) → 𝐺 ∈ TopGrp ) |
48 |
6 47
|
impbii |
⊢ ( 𝐺 ∈ TopGrp ↔ ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ − ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ) ) |