Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
itgabs.1 |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V ) |
2 |
|
itgabs.2 |
|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 ) |
3 |
1 2
|
itgcl |
|- ( ph -> S. A B _d x e. CC ) |
4 |
3
|
cjcld |
|- ( ph -> ( * ` S. A B _d x ) e. CC ) |
5 |
|
iblmbf |
|- ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) |
6 |
2 5
|
syl |
|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) |
7 |
6 1
|
mbfmptcl |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC ) |
8 |
7
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. x e. A B e. CC ) |
9 |
|
nfv |
|- F/ y B e. CC |
10 |
|
nfcsb1v |
|- F/_ x [_ y / x ]_ B |
11 |
10
|
nfel1 |
|- F/ x [_ y / x ]_ B e. CC |
12 |
|
csbeq1a |
|- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B ) |
13 |
12
|
eleq1d |
|- ( x = y -> ( B e. CC <-> [_ y / x ]_ B e. CC ) ) |
14 |
9 11 13
|
cbvralw |
|- ( A. x e. A B e. CC <-> A. y e. A [_ y / x ]_ B e. CC ) |
15 |
8 14
|
sylib |
|- ( ph -> A. y e. A [_ y / x ]_ B e. CC ) |
16 |
15
|
r19.21bi |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> [_ y / x ]_ B e. CC ) |
17 |
|
nfcv |
|- F/_ y B |
18 |
17 10 12
|
cbvmpt |
|- ( x e. A |-> B ) = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B ) |
19 |
18 2
|
eqeltrrid |
|- ( ph -> ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B ) e. L^1 ) |
20 |
4 16 19
|
iblmulc2 |
|- ( ph -> ( y e. A |-> ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) e. L^1 ) |
21 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( * ` S. A B _d x ) e. CC ) |
22 |
21 16
|
mulcld |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) e. CC ) |
23 |
22
|
iblcn |
|- ( ph -> ( ( y e. A |-> ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) e. L^1 <-> ( ( y e. A |-> ( Re ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) ) e. L^1 /\ ( y e. A |-> ( Im ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) ) e. L^1 ) ) ) |
24 |
20 23
|
mpbid |
|- ( ph -> ( ( y e. A |-> ( Re ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) ) e. L^1 /\ ( y e. A |-> ( Im ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) ) e. L^1 ) ) |
25 |
24
|
simpld |
|- ( ph -> ( y e. A |-> ( Re ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) ) e. L^1 ) |
26 |
|
ovexd |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) e. _V ) |
27 |
26 20
|
iblabs |
|- ( ph -> ( y e. A |-> ( abs ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) ) e. L^1 ) |
28 |
22
|
recld |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( Re ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) e. RR ) |
29 |
22
|
abscld |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( abs ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) e. RR ) |
30 |
22
|
releabsd |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( Re ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) <_ ( abs ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) ) |
31 |
25 27 28 29 30
|
itgle |
|- ( ph -> S. A ( Re ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) _d y <_ S. A ( abs ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) _d y ) |
32 |
3
|
abscld |
|- ( ph -> ( abs ` S. A B _d x ) e. RR ) |
33 |
32
|
recnd |
|- ( ph -> ( abs ` S. A B _d x ) e. CC ) |
34 |
33
|
sqvald |
|- ( ph -> ( ( abs ` S. A B _d x ) ^ 2 ) = ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` S. A B _d x ) ) ) |
35 |
3
|
absvalsqd |
|- ( ph -> ( ( abs ` S. A B _d x ) ^ 2 ) = ( S. A B _d x x. ( * ` S. A B _d x ) ) ) |
36 |
3 4
|
mulcomd |
|- ( ph -> ( S. A B _d x x. ( * ` S. A B _d x ) ) = ( ( * ` S. A B _d x ) x. S. A B _d x ) ) |
37 |
12 17 10
|
cbvitg |
|- S. A B _d x = S. A [_ y / x ]_ B _d y |
38 |
37
|
oveq2i |
|- ( ( * ` S. A B _d x ) x. S. A B _d x ) = ( ( * ` S. A B _d x ) x. S. A [_ y / x ]_ B _d y ) |
39 |
4 16 19
|
itgmulc2 |
|- ( ph -> ( ( * ` S. A B _d x ) x. S. A [_ y / x ]_ B _d y ) = S. A ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) _d y ) |
40 |
38 39
|
syl5eq |
|- ( ph -> ( ( * ` S. A B _d x ) x. S. A B _d x ) = S. A ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) _d y ) |
41 |
35 36 40
|
3eqtrd |
|- ( ph -> ( ( abs ` S. A B _d x ) ^ 2 ) = S. A ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) _d y ) |
42 |
41
|
fveq2d |
|- ( ph -> ( Re ` ( ( abs ` S. A B _d x ) ^ 2 ) ) = ( Re ` S. A ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) _d y ) ) |
43 |
32
|
resqcld |
|- ( ph -> ( ( abs ` S. A B _d x ) ^ 2 ) e. RR ) |
44 |
43
|
rered |
|- ( ph -> ( Re ` ( ( abs ` S. A B _d x ) ^ 2 ) ) = ( ( abs ` S. A B _d x ) ^ 2 ) ) |
45 |
26 20
|
itgre |
|- ( ph -> ( Re ` S. A ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) _d y ) = S. A ( Re ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) _d y ) |
46 |
42 44 45
|
3eqtr3d |
|- ( ph -> ( ( abs ` S. A B _d x ) ^ 2 ) = S. A ( Re ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) _d y ) |
47 |
34 46
|
eqtr3d |
|- ( ph -> ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` S. A B _d x ) ) = S. A ( Re ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) _d y ) |
48 |
12
|
fveq2d |
|- ( x = y -> ( abs ` B ) = ( abs ` [_ y / x ]_ B ) ) |
49 |
|
nfcv |
|- F/_ y ( abs ` B ) |
50 |
|
nfcv |
|- F/_ x abs |
51 |
50 10
|
nffv |
|- F/_ x ( abs ` [_ y / x ]_ B ) |
52 |
48 49 51
|
cbvitg |
|- S. A ( abs ` B ) _d x = S. A ( abs ` [_ y / x ]_ B ) _d y |
53 |
52
|
oveq2i |
|- ( ( abs ` S. A B _d x ) x. S. A ( abs ` B ) _d x ) = ( ( abs ` S. A B _d x ) x. S. A ( abs ` [_ y / x ]_ B ) _d y ) |
54 |
16
|
abscld |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( abs ` [_ y / x ]_ B ) e. RR ) |
55 |
16 19
|
iblabs |
|- ( ph -> ( y e. A |-> ( abs ` [_ y / x ]_ B ) ) e. L^1 ) |
56 |
33 54 55
|
itgmulc2 |
|- ( ph -> ( ( abs ` S. A B _d x ) x. S. A ( abs ` [_ y / x ]_ B ) _d y ) = S. A ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` [_ y / x ]_ B ) ) _d y ) |
57 |
21 16
|
absmuld |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( abs ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) = ( ( abs ` ( * ` S. A B _d x ) ) x. ( abs ` [_ y / x ]_ B ) ) ) |
58 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> S. A B _d x e. CC ) |
59 |
58
|
abscjd |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( abs ` ( * ` S. A B _d x ) ) = ( abs ` S. A B _d x ) ) |
60 |
59
|
oveq1d |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( abs ` ( * ` S. A B _d x ) ) x. ( abs ` [_ y / x ]_ B ) ) = ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` [_ y / x ]_ B ) ) ) |
61 |
57 60
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( abs ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) = ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` [_ y / x ]_ B ) ) ) |
62 |
61
|
itgeq2dv |
|- ( ph -> S. A ( abs ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) _d y = S. A ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` [_ y / x ]_ B ) ) _d y ) |
63 |
56 62
|
eqtr4d |
|- ( ph -> ( ( abs ` S. A B _d x ) x. S. A ( abs ` [_ y / x ]_ B ) _d y ) = S. A ( abs ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) _d y ) |
64 |
53 63
|
syl5eq |
|- ( ph -> ( ( abs ` S. A B _d x ) x. S. A ( abs ` B ) _d x ) = S. A ( abs ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) _d y ) |
65 |
31 47 64
|
3brtr4d |
|- ( ph -> ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` S. A B _d x ) ) <_ ( ( abs ` S. A B _d x ) x. S. A ( abs ` B ) _d x ) ) |
66 |
65
|
adantr |
|- ( ( ph /\ 0 < ( abs ` S. A B _d x ) ) -> ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` S. A B _d x ) ) <_ ( ( abs ` S. A B _d x ) x. S. A ( abs ` B ) _d x ) ) |
67 |
32
|
adantr |
|- ( ( ph /\ 0 < ( abs ` S. A B _d x ) ) -> ( abs ` S. A B _d x ) e. RR ) |
68 |
7
|
abscld |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR ) |
69 |
1 2
|
iblabs |
|- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 ) |
70 |
68 69
|
itgrecl |
|- ( ph -> S. A ( abs ` B ) _d x e. RR ) |
71 |
70
|
adantr |
|- ( ( ph /\ 0 < ( abs ` S. A B _d x ) ) -> S. A ( abs ` B ) _d x e. RR ) |
72 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ 0 < ( abs ` S. A B _d x ) ) -> 0 < ( abs ` S. A B _d x ) ) |
73 |
|
lemul2 |
|- ( ( ( abs ` S. A B _d x ) e. RR /\ S. A ( abs ` B ) _d x e. RR /\ ( ( abs ` S. A B _d x ) e. RR /\ 0 < ( abs ` S. A B _d x ) ) ) -> ( ( abs ` S. A B _d x ) <_ S. A ( abs ` B ) _d x <-> ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` S. A B _d x ) ) <_ ( ( abs ` S. A B _d x ) x. S. A ( abs ` B ) _d x ) ) ) |
74 |
67 71 67 72 73
|
syl112anc |
|- ( ( ph /\ 0 < ( abs ` S. A B _d x ) ) -> ( ( abs ` S. A B _d x ) <_ S. A ( abs ` B ) _d x <-> ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` S. A B _d x ) ) <_ ( ( abs ` S. A B _d x ) x. S. A ( abs ` B ) _d x ) ) ) |
75 |
66 74
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ 0 < ( abs ` S. A B _d x ) ) -> ( abs ` S. A B _d x ) <_ S. A ( abs ` B ) _d x ) |
76 |
75
|
ex |
|- ( ph -> ( 0 < ( abs ` S. A B _d x ) -> ( abs ` S. A B _d x ) <_ S. A ( abs ` B ) _d x ) ) |
77 |
7
|
absge0d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` B ) ) |
78 |
69 68 77
|
itgge0 |
|- ( ph -> 0 <_ S. A ( abs ` B ) _d x ) |
79 |
|
breq1 |
|- ( 0 = ( abs ` S. A B _d x ) -> ( 0 <_ S. A ( abs ` B ) _d x <-> ( abs ` S. A B _d x ) <_ S. A ( abs ` B ) _d x ) ) |
80 |
78 79
|
syl5ibcom |
|- ( ph -> ( 0 = ( abs ` S. A B _d x ) -> ( abs ` S. A B _d x ) <_ S. A ( abs ` B ) _d x ) ) |
81 |
3
|
absge0d |
|- ( ph -> 0 <_ ( abs ` S. A B _d x ) ) |
82 |
|
0re |
|- 0 e. RR |
83 |
|
leloe |
|- ( ( 0 e. RR /\ ( abs ` S. A B _d x ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( abs ` S. A B _d x ) <-> ( 0 < ( abs ` S. A B _d x ) \/ 0 = ( abs ` S. A B _d x ) ) ) ) |
84 |
82 32 83
|
sylancr |
|- ( ph -> ( 0 <_ ( abs ` S. A B _d x ) <-> ( 0 < ( abs ` S. A B _d x ) \/ 0 = ( abs ` S. A B _d x ) ) ) ) |
85 |
81 84
|
mpbid |
|- ( ph -> ( 0 < ( abs ` S. A B _d x ) \/ 0 = ( abs ` S. A B _d x ) ) ) |
86 |
76 80 85
|
mpjaod |
|- ( ph -> ( abs ` S. A B _d x ) <_ S. A ( abs ` B ) _d x ) |