Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
iblabs.1 |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V ) |
2 |
|
iblabs.2 |
|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 ) |
3 |
|
absf |
|- abs : CC --> RR |
4 |
3
|
a1i |
|- ( ph -> abs : CC --> RR ) |
5 |
|
iblmbf |
|- ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) |
6 |
2 5
|
syl |
|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) |
7 |
6 1
|
mbfmptcl |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC ) |
8 |
4 7
|
cofmpt |
|- ( ph -> ( abs o. ( x e. A |-> B ) ) = ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) ) |
9 |
7
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> CC ) |
10 |
|
ax-resscn |
|- RR C_ CC |
11 |
|
ssid |
|- CC C_ CC |
12 |
|
cncfss |
|- ( ( RR C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( CC -cn-> RR ) C_ ( CC -cn-> CC ) ) |
13 |
10 11 12
|
mp2an |
|- ( CC -cn-> RR ) C_ ( CC -cn-> CC ) |
14 |
|
abscncf |
|- abs e. ( CC -cn-> RR ) |
15 |
13 14
|
sselii |
|- abs e. ( CC -cn-> CC ) |
16 |
15
|
a1i |
|- ( ph -> abs e. ( CC -cn-> CC ) ) |
17 |
|
cncombf |
|- ( ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> B ) : A --> CC /\ abs e. ( CC -cn-> CC ) ) -> ( abs o. ( x e. A |-> B ) ) e. MblFn ) |
18 |
6 9 16 17
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( abs o. ( x e. A |-> B ) ) e. MblFn ) |
19 |
8 18
|
eqeltrrd |
|- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn ) |
20 |
7
|
abscld |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR ) |
21 |
20
|
rexrd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR* ) |
22 |
7
|
absge0d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` B ) ) |
23 |
|
elxrge0 |
|- ( ( abs ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( abs ` B ) e. RR* /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) ) |
24 |
21 22 23
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
25 |
|
0e0iccpnf |
|- 0 e. ( 0 [,] +oo ) |
26 |
25
|
a1i |
|- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) ) |
27 |
24 26
|
ifclda |
|- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
28 |
27
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
29 |
28
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) ) |
30 |
|
reex |
|- RR e. _V |
31 |
30
|
a1i |
|- ( ph -> RR e. _V ) |
32 |
7
|
recld |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` B ) e. RR ) |
33 |
32
|
recnd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` B ) e. CC ) |
34 |
33
|
abscld |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Re ` B ) ) e. RR ) |
35 |
33
|
absge0d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` ( Re ` B ) ) ) |
36 |
|
elrege0 |
|- ( ( abs ` ( Re ` B ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( Re ` B ) ) ) ) |
37 |
34 35 36
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Re ` B ) ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
38 |
|
0e0icopnf |
|- 0 e. ( 0 [,) +oo ) |
39 |
38
|
a1i |
|- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) ) |
40 |
37 39
|
ifclda |
|- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
41 |
40
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
42 |
7
|
imcld |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` B ) e. RR ) |
43 |
42
|
recnd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` B ) e. CC ) |
44 |
43
|
abscld |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Im ` B ) ) e. RR ) |
45 |
43
|
absge0d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` ( Im ` B ) ) ) |
46 |
|
elrege0 |
|- ( ( abs ` ( Im ` B ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( abs ` ( Im ` B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( Im ` B ) ) ) ) |
47 |
44 45 46
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Im ` B ) ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
48 |
47 39
|
ifclda |
|- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
49 |
48
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
50 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) |
51 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) |
52 |
31 41 49 50 51
|
offval2 |
|- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) |
53 |
|
iftrue |
|- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) = ( abs ` ( Re ` B ) ) ) |
54 |
|
iftrue |
|- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) = ( abs ` ( Im ` B ) ) ) |
55 |
53 54
|
oveq12d |
|- ( x e. A -> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) ) |
56 |
|
iftrue |
|- ( x e. A -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) ) |
57 |
55 56
|
eqtr4d |
|- ( x e. A -> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) |
58 |
|
00id |
|- ( 0 + 0 ) = 0 |
59 |
|
iffalse |
|- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) = 0 ) |
60 |
|
iffalse |
|- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) = 0 ) |
61 |
59 60
|
oveq12d |
|- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = ( 0 + 0 ) ) |
62 |
|
iffalse |
|- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) = 0 ) |
63 |
58 61 62
|
3eqtr4a |
|- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) |
64 |
57 63
|
pm2.61i |
|- ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) |
65 |
64
|
mpteq2i |
|- ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) |
66 |
52 65
|
eqtr2di |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) = ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) |
67 |
66
|
fveq2d |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) ) |
68 |
|
eqid |
|- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) |
69 |
7
|
iblcn |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 ) ) ) |
70 |
2 69
|
mpbid |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 ) ) |
71 |
70
|
simpld |
|- ( ph -> ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 ) |
72 |
1 2 68 71 32
|
iblabslem |
|- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) |
73 |
72
|
simpld |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn ) |
74 |
41
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) |
75 |
72
|
simprd |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) |
76 |
|
eqid |
|- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) |
77 |
70
|
simprd |
|- ( ph -> ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 ) |
78 |
1 2 76 77 42
|
iblabslem |
|- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) |
79 |
78
|
simpld |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn ) |
80 |
49
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) |
81 |
78
|
simprd |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) |
82 |
73 74 75 79 80 81
|
itg2add |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) ) |
83 |
67 82
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) ) |
84 |
75 81
|
readdcld |
|- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) e. RR ) |
85 |
83 84
|
eqeltrd |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) |
86 |
34 44
|
readdcld |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. RR ) |
87 |
86
|
rexrd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. RR* ) |
88 |
34 44 35 45
|
addge0d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) ) |
89 |
|
elxrge0 |
|- ( ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. RR* /\ 0 <_ ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) ) ) |
90 |
87 88 89
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
91 |
90 26
|
ifclda |
|- ( ph -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
92 |
91
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
93 |
92
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) ) |
94 |
|
ax-icn |
|- _i e. CC |
95 |
|
mulcl |
|- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC ) |
96 |
94 43 95
|
sylancr |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC ) |
97 |
33 96
|
abstrid |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) |
98 |
7
|
replimd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B = ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) |
99 |
98
|
fveq2d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) = ( abs ` ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) |
100 |
|
absmul |
|- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) = ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) ) |
101 |
94 43 100
|
sylancr |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) = ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) ) |
102 |
|
absi |
|- ( abs ` _i ) = 1 |
103 |
102
|
oveq1i |
|- ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) = ( 1 x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) |
104 |
44
|
recnd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Im ` B ) ) e. CC ) |
105 |
104
|
mulid2d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( 1 x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) = ( abs ` ( Im ` B ) ) ) |
106 |
103 105
|
syl5eq |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) = ( abs ` ( Im ` B ) ) ) |
107 |
101 106
|
eqtr2d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Im ` B ) ) = ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) |
108 |
107
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) |
109 |
97 99 108
|
3brtr4d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) <_ ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) ) |
110 |
|
iftrue |
|- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = ( abs ` B ) ) |
111 |
110
|
adantl |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = ( abs ` B ) ) |
112 |
56
|
adantl |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) ) |
113 |
109 111 112
|
3brtr4d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) |
114 |
113
|
ex |
|- ( ph -> ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) |
115 |
|
0le0 |
|- 0 <_ 0 |
116 |
115
|
a1i |
|- ( -. x e. A -> 0 <_ 0 ) |
117 |
|
iffalse |
|- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = 0 ) |
118 |
116 117 62
|
3brtr4d |
|- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) |
119 |
114 118
|
pm2.61d1 |
|- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) |
120 |
119
|
ralrimivw |
|- ( ph -> A. x e. RR if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) |
121 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) |
122 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) |
123 |
31 28 92 121 122
|
ofrfval2 |
|- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) <-> A. x e. RR if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) |
124 |
120 123
|
mpbird |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) |
125 |
|
itg2le |
|- ( ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) ) |
126 |
29 93 124 125
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) ) |
127 |
|
itg2lecl |
|- ( ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) |
128 |
29 85 126 127
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) |
129 |
20 22
|
iblpos |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) ) |
130 |
19 128 129
|
mpbir2and |
|- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 ) |