Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lincvalsn.b |
|- B = ( Base ` M ) |
2 |
|
lincvalsn.s |
|- S = ( Scalar ` M ) |
3 |
|
lincvalsn.r |
|- R = ( Base ` S ) |
4 |
|
lincvalsn.t |
|- .x. = ( .s ` M ) |
5 |
|
simp1 |
|- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> M e. LMod ) |
6 |
|
simp2 |
|- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> V e. B ) |
7 |
2
|
fveq2i |
|- ( Base ` S ) = ( Base ` ( Scalar ` M ) ) |
8 |
3 7
|
eqtri |
|- R = ( Base ` ( Scalar ` M ) ) |
9 |
8
|
eleq2i |
|- ( Y e. R <-> Y e. ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ) |
10 |
9
|
biimpi |
|- ( Y e. R -> Y e. ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ) |
11 |
10
|
3ad2ant3 |
|- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> Y e. ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ) |
12 |
|
fvexd |
|- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> ( Base ` ( Scalar ` M ) ) e. _V ) |
13 |
|
eqid |
|- { <. V , Y >. } = { <. V , Y >. } |
14 |
13
|
mapsnop |
|- ( ( V e. B /\ Y e. ( Base ` ( Scalar ` M ) ) /\ ( Base ` ( Scalar ` M ) ) e. _V ) -> { <. V , Y >. } e. ( ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ^m { V } ) ) |
15 |
6 11 12 14
|
syl3anc |
|- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> { <. V , Y >. } e. ( ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ^m { V } ) ) |
16 |
|
snelpwi |
|- ( V e. ( Base ` M ) -> { V } e. ~P ( Base ` M ) ) |
17 |
16 1
|
eleq2s |
|- ( V e. B -> { V } e. ~P ( Base ` M ) ) |
18 |
17
|
3ad2ant2 |
|- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> { V } e. ~P ( Base ` M ) ) |
19 |
|
lincval |
|- ( ( M e. LMod /\ { <. V , Y >. } e. ( ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ^m { V } ) /\ { V } e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( { <. V , Y >. } ( linC ` M ) { V } ) = ( M gsum ( v e. { V } |-> ( ( { <. V , Y >. } ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) ) |
20 |
5 15 18 19
|
syl3anc |
|- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> ( { <. V , Y >. } ( linC ` M ) { V } ) = ( M gsum ( v e. { V } |-> ( ( { <. V , Y >. } ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) ) |
21 |
|
lmodgrp |
|- ( M e. LMod -> M e. Grp ) |
22 |
|
grpmnd |
|- ( M e. Grp -> M e. Mnd ) |
23 |
21 22
|
syl |
|- ( M e. LMod -> M e. Mnd ) |
24 |
23
|
3ad2ant1 |
|- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> M e. Mnd ) |
25 |
|
fvsng |
|- ( ( V e. B /\ Y e. R ) -> ( { <. V , Y >. } ` V ) = Y ) |
26 |
25
|
3adant1 |
|- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> ( { <. V , Y >. } ` V ) = Y ) |
27 |
26
|
oveq1d |
|- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> ( ( { <. V , Y >. } ` V ) ( .s ` M ) V ) = ( Y ( .s ` M ) V ) ) |
28 |
|
eqid |
|- ( .s ` M ) = ( .s ` M ) |
29 |
1 2 28 3
|
lmodvscl |
|- ( ( M e. LMod /\ Y e. R /\ V e. B ) -> ( Y ( .s ` M ) V ) e. B ) |
30 |
29
|
3com23 |
|- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> ( Y ( .s ` M ) V ) e. B ) |
31 |
27 30
|
eqeltrd |
|- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> ( ( { <. V , Y >. } ` V ) ( .s ` M ) V ) e. B ) |
32 |
|
fveq2 |
|- ( v = V -> ( { <. V , Y >. } ` v ) = ( { <. V , Y >. } ` V ) ) |
33 |
|
id |
|- ( v = V -> v = V ) |
34 |
32 33
|
oveq12d |
|- ( v = V -> ( ( { <. V , Y >. } ` v ) ( .s ` M ) v ) = ( ( { <. V , Y >. } ` V ) ( .s ` M ) V ) ) |
35 |
1 34
|
gsumsn |
|- ( ( M e. Mnd /\ V e. B /\ ( ( { <. V , Y >. } ` V ) ( .s ` M ) V ) e. B ) -> ( M gsum ( v e. { V } |-> ( ( { <. V , Y >. } ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) = ( ( { <. V , Y >. } ` V ) ( .s ` M ) V ) ) |
36 |
24 6 31 35
|
syl3anc |
|- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> ( M gsum ( v e. { V } |-> ( ( { <. V , Y >. } ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) = ( ( { <. V , Y >. } ` V ) ( .s ` M ) V ) ) |
37 |
4
|
eqcomi |
|- ( .s ` M ) = .x. |
38 |
37
|
a1i |
|- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> ( .s ` M ) = .x. ) |
39 |
|
eqidd |
|- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> V = V ) |
40 |
38 26 39
|
oveq123d |
|- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> ( ( { <. V , Y >. } ` V ) ( .s ` M ) V ) = ( Y .x. V ) ) |
41 |
20 36 40
|
3eqtrd |
|- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> ( { <. V , Y >. } ( linC ` M ) { V } ) = ( Y .x. V ) ) |