Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lsmelvalm.m |
|- .- = ( -g ` G ) |
2 |
|
lsmelvalm.p |
|- .(+) = ( LSSum ` G ) |
3 |
|
lsmelvalm.t |
|- ( ph -> T e. ( SubGrp ` G ) ) |
4 |
|
lsmelvalm.u |
|- ( ph -> U e. ( SubGrp ` G ) ) |
5 |
|
eqid |
|- ( +g ` G ) = ( +g ` G ) |
6 |
5 2
|
lsmelval |
|- ( ( T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) -> ( X e. ( T .(+) U ) <-> E. y e. T E. x e. U X = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) |
7 |
3 4 6
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( X e. ( T .(+) U ) <-> E. y e. T E. x e. U X = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) |
8 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ y e. T ) -> U e. ( SubGrp ` G ) ) |
9 |
|
eqid |
|- ( invg ` G ) = ( invg ` G ) |
10 |
9
|
subginvcl |
|- ( ( U e. ( SubGrp ` G ) /\ x e. U ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) e. U ) |
11 |
8 10
|
sylan |
|- ( ( ( ph /\ y e. T ) /\ x e. U ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) e. U ) |
12 |
|
eqid |
|- ( Base ` G ) = ( Base ` G ) |
13 |
|
subgrcl |
|- ( T e. ( SubGrp ` G ) -> G e. Grp ) |
14 |
3 13
|
syl |
|- ( ph -> G e. Grp ) |
15 |
14
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. T ) /\ x e. U ) -> G e. Grp ) |
16 |
12
|
subgss |
|- ( T e. ( SubGrp ` G ) -> T C_ ( Base ` G ) ) |
17 |
3 16
|
syl |
|- ( ph -> T C_ ( Base ` G ) ) |
18 |
17
|
sselda |
|- ( ( ph /\ y e. T ) -> y e. ( Base ` G ) ) |
19 |
18
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ y e. T ) /\ x e. U ) -> y e. ( Base ` G ) ) |
20 |
12
|
subgss |
|- ( U e. ( SubGrp ` G ) -> U C_ ( Base ` G ) ) |
21 |
8 20
|
syl |
|- ( ( ph /\ y e. T ) -> U C_ ( Base ` G ) ) |
22 |
21
|
sselda |
|- ( ( ( ph /\ y e. T ) /\ x e. U ) -> x e. ( Base ` G ) ) |
23 |
12 5 1 9 15 19 22
|
grpsubinv |
|- ( ( ( ph /\ y e. T ) /\ x e. U ) -> ( y .- ( ( invg ` G ) ` x ) ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) |
24 |
23
|
eqcomd |
|- ( ( ( ph /\ y e. T ) /\ x e. U ) -> ( y ( +g ` G ) x ) = ( y .- ( ( invg ` G ) ` x ) ) ) |
25 |
|
oveq2 |
|- ( z = ( ( invg ` G ) ` x ) -> ( y .- z ) = ( y .- ( ( invg ` G ) ` x ) ) ) |
26 |
25
|
rspceeqv |
|- ( ( ( ( invg ` G ) ` x ) e. U /\ ( y ( +g ` G ) x ) = ( y .- ( ( invg ` G ) ` x ) ) ) -> E. z e. U ( y ( +g ` G ) x ) = ( y .- z ) ) |
27 |
11 24 26
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ y e. T ) /\ x e. U ) -> E. z e. U ( y ( +g ` G ) x ) = ( y .- z ) ) |
28 |
|
eqeq1 |
|- ( X = ( y ( +g ` G ) x ) -> ( X = ( y .- z ) <-> ( y ( +g ` G ) x ) = ( y .- z ) ) ) |
29 |
28
|
rexbidv |
|- ( X = ( y ( +g ` G ) x ) -> ( E. z e. U X = ( y .- z ) <-> E. z e. U ( y ( +g ` G ) x ) = ( y .- z ) ) ) |
30 |
27 29
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( ph /\ y e. T ) /\ x e. U ) -> ( X = ( y ( +g ` G ) x ) -> E. z e. U X = ( y .- z ) ) ) |
31 |
30
|
rexlimdva |
|- ( ( ph /\ y e. T ) -> ( E. x e. U X = ( y ( +g ` G ) x ) -> E. z e. U X = ( y .- z ) ) ) |
32 |
9
|
subginvcl |
|- ( ( U e. ( SubGrp ` G ) /\ z e. U ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. U ) |
33 |
8 32
|
sylan |
|- ( ( ( ph /\ y e. T ) /\ z e. U ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. U ) |
34 |
18
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ y e. T ) /\ z e. U ) -> y e. ( Base ` G ) ) |
35 |
21
|
sselda |
|- ( ( ( ph /\ y e. T ) /\ z e. U ) -> z e. ( Base ` G ) ) |
36 |
12 5 9 1
|
grpsubval |
|- ( ( y e. ( Base ` G ) /\ z e. ( Base ` G ) ) -> ( y .- z ) = ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) |
37 |
34 35 36
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ y e. T ) /\ z e. U ) -> ( y .- z ) = ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) |
38 |
|
oveq2 |
|- ( x = ( ( invg ` G ) ` z ) -> ( y ( +g ` G ) x ) = ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) |
39 |
38
|
rspceeqv |
|- ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) e. U /\ ( y .- z ) = ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) -> E. x e. U ( y .- z ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) |
40 |
33 37 39
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ y e. T ) /\ z e. U ) -> E. x e. U ( y .- z ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) |
41 |
|
eqeq1 |
|- ( X = ( y .- z ) -> ( X = ( y ( +g ` G ) x ) <-> ( y .- z ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) |
42 |
41
|
rexbidv |
|- ( X = ( y .- z ) -> ( E. x e. U X = ( y ( +g ` G ) x ) <-> E. x e. U ( y .- z ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) |
43 |
40 42
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( ph /\ y e. T ) /\ z e. U ) -> ( X = ( y .- z ) -> E. x e. U X = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) |
44 |
43
|
rexlimdva |
|- ( ( ph /\ y e. T ) -> ( E. z e. U X = ( y .- z ) -> E. x e. U X = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) |
45 |
31 44
|
impbid |
|- ( ( ph /\ y e. T ) -> ( E. x e. U X = ( y ( +g ` G ) x ) <-> E. z e. U X = ( y .- z ) ) ) |
46 |
45
|
rexbidva |
|- ( ph -> ( E. y e. T E. x e. U X = ( y ( +g ` G ) x ) <-> E. y e. T E. z e. U X = ( y .- z ) ) ) |
47 |
7 46
|
bitrd |
|- ( ph -> ( X e. ( T .(+) U ) <-> E. y e. T E. z e. U X = ( y .- z ) ) ) |