Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mat1rhmval.k |
|- K = ( Base ` R ) |
2 |
|
mat1rhmval.a |
|- A = ( { E } Mat R ) |
3 |
|
mat1rhmval.b |
|- B = ( Base ` A ) |
4 |
|
mat1rhmval.o |
|- O = <. E , E >. |
5 |
|
mat1rhmval.f |
|- F = ( x e. K |-> { <. O , x >. } ) |
6 |
|
eqid |
|- ( +g ` R ) = ( +g ` R ) |
7 |
|
eqid |
|- ( +g ` A ) = ( +g ` A ) |
8 |
|
ringgrp |
|- ( R e. Ring -> R e. Grp ) |
9 |
8
|
adantr |
|- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> R e. Grp ) |
10 |
|
snfi |
|- { E } e. Fin |
11 |
|
simpl |
|- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> R e. Ring ) |
12 |
2
|
matgrp |
|- ( ( { E } e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Grp ) |
13 |
10 11 12
|
sylancr |
|- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> A e. Grp ) |
14 |
1 2 3 4 5
|
mat1f |
|- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> F : K --> B ) |
15 |
11
|
adantr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> R e. Ring ) |
16 |
|
simpr |
|- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> E e. V ) |
17 |
16
|
adantr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> E e. V ) |
18 |
|
simpl |
|- ( ( w e. K /\ y e. K ) -> w e. K ) |
19 |
18
|
adantl |
|- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> w e. K ) |
20 |
1 2 3 4 5
|
mat1rhmelval |
|- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ w e. K ) -> ( E ( F ` w ) E ) = w ) |
21 |
15 17 19 20
|
syl3anc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( E ( F ` w ) E ) = w ) |
22 |
|
simpr |
|- ( ( w e. K /\ y e. K ) -> y e. K ) |
23 |
22
|
adantl |
|- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> y e. K ) |
24 |
1 2 3 4 5
|
mat1rhmelval |
|- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ y e. K ) -> ( E ( F ` y ) E ) = y ) |
25 |
15 17 23 24
|
syl3anc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( E ( F ` y ) E ) = y ) |
26 |
21 25
|
oveq12d |
|- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( ( E ( F ` w ) E ) ( +g ` R ) ( E ( F ` y ) E ) ) = ( w ( +g ` R ) y ) ) |
27 |
1 2 3 4 5
|
mat1rhmcl |
|- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ w e. K ) -> ( F ` w ) e. B ) |
28 |
15 17 19 27
|
syl3anc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( F ` w ) e. B ) |
29 |
1 2 3 4 5
|
mat1rhmcl |
|- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ y e. K ) -> ( F ` y ) e. B ) |
30 |
15 17 23 29
|
syl3anc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( F ` y ) e. B ) |
31 |
|
snidg |
|- ( E e. V -> E e. { E } ) |
32 |
31 31
|
jca |
|- ( E e. V -> ( E e. { E } /\ E e. { E } ) ) |
33 |
32
|
adantl |
|- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( E e. { E } /\ E e. { E } ) ) |
34 |
33
|
adantr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( E e. { E } /\ E e. { E } ) ) |
35 |
2 3 7 6
|
matplusgcell |
|- ( ( ( ( F ` w ) e. B /\ ( F ` y ) e. B ) /\ ( E e. { E } /\ E e. { E } ) ) -> ( E ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) E ) = ( ( E ( F ` w ) E ) ( +g ` R ) ( E ( F ` y ) E ) ) ) |
36 |
28 30 34 35
|
syl21anc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( E ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) E ) = ( ( E ( F ` w ) E ) ( +g ` R ) ( E ( F ` y ) E ) ) ) |
37 |
1 6
|
ringacl |
|- ( ( R e. Ring /\ w e. K /\ y e. K ) -> ( w ( +g ` R ) y ) e. K ) |
38 |
15 19 23 37
|
syl3anc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( w ( +g ` R ) y ) e. K ) |
39 |
1 2 3 4 5
|
mat1rhmelval |
|- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ ( w ( +g ` R ) y ) e. K ) -> ( E ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) E ) = ( w ( +g ` R ) y ) ) |
40 |
15 17 38 39
|
syl3anc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( E ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) E ) = ( w ( +g ` R ) y ) ) |
41 |
26 36 40
|
3eqtr4rd |
|- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( E ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) E ) = ( E ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) E ) ) |
42 |
|
oveq1 |
|- ( i = E -> ( i ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) j ) = ( E ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) j ) ) |
43 |
|
oveq1 |
|- ( i = E -> ( i ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) j ) = ( E ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) j ) ) |
44 |
42 43
|
eqeq12d |
|- ( i = E -> ( ( i ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) j ) = ( i ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) j ) <-> ( E ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) j ) = ( E ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) j ) ) ) |
45 |
|
oveq2 |
|- ( j = E -> ( E ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) j ) = ( E ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) E ) ) |
46 |
|
oveq2 |
|- ( j = E -> ( E ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) j ) = ( E ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) E ) ) |
47 |
45 46
|
eqeq12d |
|- ( j = E -> ( ( E ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) j ) = ( E ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) j ) <-> ( E ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) E ) = ( E ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) E ) ) ) |
48 |
44 47
|
2ralsng |
|- ( ( E e. V /\ E e. V ) -> ( A. i e. { E } A. j e. { E } ( i ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) j ) = ( i ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) j ) <-> ( E ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) E ) = ( E ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) E ) ) ) |
49 |
16 16 48
|
syl2anc |
|- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( A. i e. { E } A. j e. { E } ( i ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) j ) = ( i ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) j ) <-> ( E ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) E ) = ( E ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) E ) ) ) |
50 |
49
|
adantr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( A. i e. { E } A. j e. { E } ( i ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) j ) = ( i ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) j ) <-> ( E ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) E ) = ( E ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) E ) ) ) |
51 |
41 50
|
mpbird |
|- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> A. i e. { E } A. j e. { E } ( i ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) j ) = ( i ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) j ) ) |
52 |
1 2 3 4 5
|
mat1rhmcl |
|- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ ( w ( +g ` R ) y ) e. K ) -> ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) e. B ) |
53 |
15 17 38 52
|
syl3anc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) e. B ) |
54 |
2
|
matring |
|- ( ( { E } e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring ) |
55 |
10 11 54
|
sylancr |
|- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> A e. Ring ) |
56 |
55
|
adantr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> A e. Ring ) |
57 |
3 7
|
ringacl |
|- ( ( A e. Ring /\ ( F ` w ) e. B /\ ( F ` y ) e. B ) -> ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) e. B ) |
58 |
56 28 30 57
|
syl3anc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) e. B ) |
59 |
2 3
|
eqmat |
|- ( ( ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) e. B /\ ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) e. B ) -> ( ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) = ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) <-> A. i e. { E } A. j e. { E } ( i ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) j ) = ( i ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) j ) ) ) |
60 |
53 58 59
|
syl2anc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) = ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) <-> A. i e. { E } A. j e. { E } ( i ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) j ) = ( i ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) j ) ) ) |
61 |
51 60
|
mpbird |
|- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) = ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) ) |
62 |
1 3 6 7 9 13 14 61
|
isghmd |
|- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> F e. ( R GrpHom A ) ) |