Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mccllem.a |
|- ( ph -> A e. Fin ) |
2 |
|
mccllem.c |
|- ( ph -> C C_ A ) |
3 |
|
mccllem.d |
|- ( ph -> D e. ( A \ C ) ) |
4 |
|
mccllem.b |
|- ( ph -> B e. ( NN0 ^m ( C u. { D } ) ) ) |
5 |
|
mccllem.6 |
|- ( ph -> A. b e. ( NN0 ^m C ) ( ( ! ` sum_ k e. C ( b ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN ) |
6 |
|
nfv |
|- F/ k ph |
7 |
|
nfcv |
|- F/_ k ( ! ` ( B ` D ) ) |
8 |
|
ssfi |
|- ( ( A e. Fin /\ C C_ A ) -> C e. Fin ) |
9 |
1 2 8
|
syl2anc |
|- ( ph -> C e. Fin ) |
10 |
|
eldifn |
|- ( D e. ( A \ C ) -> -. D e. C ) |
11 |
3 10
|
syl |
|- ( ph -> -. D e. C ) |
12 |
|
elmapi |
|- ( B e. ( NN0 ^m ( C u. { D } ) ) -> B : ( C u. { D } ) --> NN0 ) |
13 |
4 12
|
syl |
|- ( ph -> B : ( C u. { D } ) --> NN0 ) |
14 |
13
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. C ) -> B : ( C u. { D } ) --> NN0 ) |
15 |
|
elun1 |
|- ( k e. C -> k e. ( C u. { D } ) ) |
16 |
15
|
adantl |
|- ( ( ph /\ k e. C ) -> k e. ( C u. { D } ) ) |
17 |
14 16
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ k e. C ) -> ( B ` k ) e. NN0 ) |
18 |
17
|
faccld |
|- ( ( ph /\ k e. C ) -> ( ! ` ( B ` k ) ) e. NN ) |
19 |
18
|
nncnd |
|- ( ( ph /\ k e. C ) -> ( ! ` ( B ` k ) ) e. CC ) |
20 |
|
2fveq3 |
|- ( k = D -> ( ! ` ( B ` k ) ) = ( ! ` ( B ` D ) ) ) |
21 |
|
snidg |
|- ( D e. ( A \ C ) -> D e. { D } ) |
22 |
3 21
|
syl |
|- ( ph -> D e. { D } ) |
23 |
|
elun2 |
|- ( D e. { D } -> D e. ( C u. { D } ) ) |
24 |
22 23
|
syl |
|- ( ph -> D e. ( C u. { D } ) ) |
25 |
13 24
|
ffvelrnd |
|- ( ph -> ( B ` D ) e. NN0 ) |
26 |
25
|
faccld |
|- ( ph -> ( ! ` ( B ` D ) ) e. NN ) |
27 |
26
|
nncnd |
|- ( ph -> ( ! ` ( B ` D ) ) e. CC ) |
28 |
6 7 9 3 11 19 20 27
|
fprodsplitsn |
|- ( ph -> prod_ k e. ( C u. { D } ) ( ! ` ( B ` k ) ) = ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) |
29 |
28
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / prod_ k e. ( C u. { D } ) ( ! ` ( B ` k ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) ) |
30 |
3
|
eldifad |
|- ( ph -> D e. A ) |
31 |
|
snssi |
|- ( D e. A -> { D } C_ A ) |
32 |
30 31
|
syl |
|- ( ph -> { D } C_ A ) |
33 |
2 32
|
unssd |
|- ( ph -> ( C u. { D } ) C_ A ) |
34 |
|
ssfi |
|- ( ( A e. Fin /\ ( C u. { D } ) C_ A ) -> ( C u. { D } ) e. Fin ) |
35 |
1 33 34
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( C u. { D } ) e. Fin ) |
36 |
13
|
ffvelrnda |
|- ( ( ph /\ k e. ( C u. { D } ) ) -> ( B ` k ) e. NN0 ) |
37 |
35 36
|
fsumnn0cl |
|- ( ph -> sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) e. NN0 ) |
38 |
37
|
faccld |
|- ( ph -> ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) e. NN ) |
39 |
38
|
nncnd |
|- ( ph -> ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) e. CC ) |
40 |
6 9 19
|
fprodclf |
|- ( ph -> prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) e. CC ) |
41 |
40 27
|
mulcld |
|- ( ph -> ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) e. CC ) |
42 |
18
|
nnne0d |
|- ( ( ph /\ k e. C ) -> ( ! ` ( B ` k ) ) =/= 0 ) |
43 |
9 19 42
|
fprodn0 |
|- ( ph -> prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) =/= 0 ) |
44 |
26
|
nnne0d |
|- ( ph -> ( ! ` ( B ` D ) ) =/= 0 ) |
45 |
40 27 43 44
|
mulne0d |
|- ( ph -> ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) =/= 0 ) |
46 |
39 41 45
|
divcld |
|- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) e. CC ) |
47 |
46
|
mulid2d |
|- ( ph -> ( 1 x. ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) ) |
48 |
47
|
eqcomd |
|- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) = ( 1 x. ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) ) ) |
49 |
9 17
|
fsumnn0cl |
|- ( ph -> sum_ k e. C ( B ` k ) e. NN0 ) |
50 |
49
|
faccld |
|- ( ph -> ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) e. NN ) |
51 |
50
|
nncnd |
|- ( ph -> ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) e. CC ) |
52 |
|
nnne0 |
|- ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) e. NN -> ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) =/= 0 ) |
53 |
50 52
|
syl |
|- ( ph -> ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) =/= 0 ) |
54 |
51 53
|
dividd |
|- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) = 1 ) |
55 |
54
|
eqcomd |
|- ( ph -> 1 = ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) ) |
56 |
40 27
|
mulcomd |
|- ( ph -> ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) = ( ( ! ` ( B ` D ) ) x. prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) |
57 |
56
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( B ` D ) ) x. prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) ) |
58 |
39 27 40 44 43
|
divdiv1d |
|- ( ph -> ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( B ` D ) ) x. prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) ) |
59 |
58
|
eqcomd |
|- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( B ` D ) ) x. prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) = ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) |
60 |
57 59
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) = ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) |
61 |
55 60
|
oveq12d |
|- ( ph -> ( 1 x. ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) ) = ( ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) ) |
62 |
39 27 44
|
divcld |
|- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) e. CC ) |
63 |
51 51 62 40 53 43
|
divmul13d |
|- ( ph -> ( ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) = ( ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) ) |
64 |
61 63
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( 1 x. ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) ) |
65 |
29 48 64
|
3eqtrd |
|- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / prod_ k e. ( C u. { D } ) ( ! ` ( B ` k ) ) ) = ( ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) ) |
66 |
39 27 51 44 53
|
divdiv1d |
|- ( ph -> ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( B ` D ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) ) ) |
67 |
|
nfcsb1v |
|- F/_ k [_ D / k ]_ ( B ` k ) |
68 |
17
|
nn0cnd |
|- ( ( ph /\ k e. C ) -> ( B ` k ) e. CC ) |
69 |
|
csbeq1a |
|- ( k = D -> ( B ` k ) = [_ D / k ]_ ( B ` k ) ) |
70 |
|
csbfv |
|- [_ D / k ]_ ( B ` k ) = ( B ` D ) |
71 |
70
|
a1i |
|- ( ph -> [_ D / k ]_ ( B ` k ) = ( B ` D ) ) |
72 |
25
|
nn0cnd |
|- ( ph -> ( B ` D ) e. CC ) |
73 |
71 72
|
eqeltrd |
|- ( ph -> [_ D / k ]_ ( B ` k ) e. CC ) |
74 |
6 67 9 30 11 68 69 73
|
fsumsplitsn |
|- ( ph -> sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) = ( sum_ k e. C ( B ` k ) + [_ D / k ]_ ( B ` k ) ) ) |
75 |
74
|
oveq1d |
|- ( ph -> ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) = ( ( sum_ k e. C ( B ` k ) + [_ D / k ]_ ( B ` k ) ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) |
76 |
49
|
nn0cnd |
|- ( ph -> sum_ k e. C ( B ` k ) e. CC ) |
77 |
76 73
|
pncan2d |
|- ( ph -> ( ( sum_ k e. C ( B ` k ) + [_ D / k ]_ ( B ` k ) ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) = [_ D / k ]_ ( B ` k ) ) |
78 |
75 77 71
|
3eqtrrd |
|- ( ph -> ( B ` D ) = ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) |
79 |
78
|
fveq2d |
|- ( ph -> ( ! ` ( B ` D ) ) = ( ! ` ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) ) |
80 |
79
|
oveq1d |
|- ( ph -> ( ( ! ` ( B ` D ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) = ( ( ! ` ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) ) |
81 |
80
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( B ` D ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) ) ) |
82 |
|
0zd |
|- ( ph -> 0 e. ZZ ) |
83 |
37
|
nn0zd |
|- ( ph -> sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) e. ZZ ) |
84 |
49
|
nn0zd |
|- ( ph -> sum_ k e. C ( B ` k ) e. ZZ ) |
85 |
49
|
nn0ge0d |
|- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. C ( B ` k ) ) |
86 |
25
|
nn0ge0d |
|- ( ph -> 0 <_ ( B ` D ) ) |
87 |
71
|
eqcomd |
|- ( ph -> ( B ` D ) = [_ D / k ]_ ( B ` k ) ) |
88 |
86 87
|
breqtrd |
|- ( ph -> 0 <_ [_ D / k ]_ ( B ` k ) ) |
89 |
49
|
nn0red |
|- ( ph -> sum_ k e. C ( B ` k ) e. RR ) |
90 |
25
|
nn0red |
|- ( ph -> ( B ` D ) e. RR ) |
91 |
71 90
|
eqeltrd |
|- ( ph -> [_ D / k ]_ ( B ` k ) e. RR ) |
92 |
89 91
|
addge01d |
|- ( ph -> ( 0 <_ [_ D / k ]_ ( B ` k ) <-> sum_ k e. C ( B ` k ) <_ ( sum_ k e. C ( B ` k ) + [_ D / k ]_ ( B ` k ) ) ) ) |
93 |
88 92
|
mpbid |
|- ( ph -> sum_ k e. C ( B ` k ) <_ ( sum_ k e. C ( B ` k ) + [_ D / k ]_ ( B ` k ) ) ) |
94 |
74
|
eqcomd |
|- ( ph -> ( sum_ k e. C ( B ` k ) + [_ D / k ]_ ( B ` k ) ) = sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) |
95 |
93 94
|
breqtrd |
|- ( ph -> sum_ k e. C ( B ` k ) <_ sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) |
96 |
82 83 84 85 95
|
elfzd |
|- ( ph -> sum_ k e. C ( B ` k ) e. ( 0 ... sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) ) |
97 |
|
bcval2 |
|- ( sum_ k e. C ( B ` k ) e. ( 0 ... sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) -> ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) _C sum_ k e. C ( B ` k ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) ) ) |
98 |
96 97
|
syl |
|- ( ph -> ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) _C sum_ k e. C ( B ` k ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) ) ) |
99 |
98
|
eqcomd |
|- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) _C sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) |
100 |
66 81 99
|
3eqtrd |
|- ( ph -> ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) = ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) _C sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) |
101 |
|
bccl2 |
|- ( sum_ k e. C ( B ` k ) e. ( 0 ... sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) -> ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) _C sum_ k e. C ( B ` k ) ) e. NN ) |
102 |
96 101
|
syl |
|- ( ph -> ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) _C sum_ k e. C ( B ` k ) ) e. NN ) |
103 |
100 102
|
eqeltrd |
|- ( ph -> ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) e. NN ) |
104 |
|
ssun1 |
|- C C_ ( C u. { D } ) |
105 |
104
|
a1i |
|- ( ph -> C C_ ( C u. { D } ) ) |
106 |
|
elmapssres |
|- ( ( B e. ( NN0 ^m ( C u. { D } ) ) /\ C C_ ( C u. { D } ) ) -> ( B |` C ) e. ( NN0 ^m C ) ) |
107 |
4 105 106
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( B |` C ) e. ( NN0 ^m C ) ) |
108 |
|
fveq1 |
|- ( b = ( B |` C ) -> ( b ` k ) = ( ( B |` C ) ` k ) ) |
109 |
108
|
adantr |
|- ( ( b = ( B |` C ) /\ k e. C ) -> ( b ` k ) = ( ( B |` C ) ` k ) ) |
110 |
|
fvres |
|- ( k e. C -> ( ( B |` C ) ` k ) = ( B ` k ) ) |
111 |
110
|
adantl |
|- ( ( b = ( B |` C ) /\ k e. C ) -> ( ( B |` C ) ` k ) = ( B ` k ) ) |
112 |
109 111
|
eqtrd |
|- ( ( b = ( B |` C ) /\ k e. C ) -> ( b ` k ) = ( B ` k ) ) |
113 |
112
|
sumeq2dv |
|- ( b = ( B |` C ) -> sum_ k e. C ( b ` k ) = sum_ k e. C ( B ` k ) ) |
114 |
113
|
fveq2d |
|- ( b = ( B |` C ) -> ( ! ` sum_ k e. C ( b ` k ) ) = ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) |
115 |
112
|
fveq2d |
|- ( ( b = ( B |` C ) /\ k e. C ) -> ( ! ` ( b ` k ) ) = ( ! ` ( B ` k ) ) ) |
116 |
115
|
prodeq2dv |
|- ( b = ( B |` C ) -> prod_ k e. C ( ! ` ( b ` k ) ) = prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) |
117 |
114 116
|
oveq12d |
|- ( b = ( B |` C ) -> ( ( ! ` sum_ k e. C ( b ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( b ` k ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) |
118 |
117
|
eleq1d |
|- ( b = ( B |` C ) -> ( ( ( ! ` sum_ k e. C ( b ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN <-> ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) e. NN ) ) |
119 |
118
|
rspccva |
|- ( ( A. b e. ( NN0 ^m C ) ( ( ! ` sum_ k e. C ( b ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN /\ ( B |` C ) e. ( NN0 ^m C ) ) -> ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) e. NN ) |
120 |
5 107 119
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) e. NN ) |
121 |
103 120
|
nnmulcld |
|- ( ph -> ( ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) e. NN ) |
122 |
65 121
|
eqeltrd |
|- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / prod_ k e. ( C u. { D } ) ( ! ` ( B ` k ) ) ) e. NN ) |