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Theorem mnurndlem2

Description: Lemma for mnurnd . Deduction theorem input. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023)

Ref Expression
Hypotheses mnurndlem2.1
|- M = { k | A. l e. k ( ~P l C_ k /\ A. m E. n e. k ( ~P l C_ n /\ A. p e. l ( E. q e. k ( p e. q /\ q e. m ) -> E. r e. m ( p e. r /\ U. r C_ n ) ) ) ) }
mnurndlem2.2
|- ( ph -> U e. M )
mnurndlem2.3
|- ( ph -> A e. U )
mnurndlem2.4
|- ( ph -> F : A --> U )
mnurndlem2.5
|- A e. _V
Assertion mnurndlem2
|- ( ph -> ran F e. U )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mnurndlem2.1
 |-  M = { k | A. l e. k ( ~P l C_ k /\ A. m E. n e. k ( ~P l C_ n /\ A. p e. l ( E. q e. k ( p e. q /\ q e. m ) -> E. r e. m ( p e. r /\ U. r C_ n ) ) ) ) }
2 mnurndlem2.2
 |-  ( ph -> U e. M )
3 mnurndlem2.3
 |-  ( ph -> A e. U )
4 mnurndlem2.4
 |-  ( ph -> F : A --> U )
5 mnurndlem2.5
 |-  A e. _V
6 2 adantr
 |-  ( ( ph /\ a e. A ) -> U e. M )
7 3 adantr
 |-  ( ( ph /\ a e. A ) -> A e. U )
8 simpr
 |-  ( ( ph /\ a e. A ) -> a e. A )
9 1 6 7 8 mnutrcld
 |-  ( ( ph /\ a e. A ) -> a e. U )
10 4 ffvelrnda
 |-  ( ( ph /\ a e. A ) -> ( F ` a ) e. U )
11 1 6 10 7 mnuprd
 |-  ( ( ph /\ a e. A ) -> { ( F ` a ) , A } e. U )
12 1 6 9 11 mnuprd
 |-  ( ( ph /\ a e. A ) -> { a , { ( F ` a ) , A } } e. U )
13 12 ralrimiva
 |-  ( ph -> A. a e. A { a , { ( F ` a ) , A } } e. U )
14 eqid
 |-  ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) = ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } )
15 14 rnmptss
 |-  ( A. a e. A { a , { ( F ` a ) , A } } e. U -> ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) C_ U )
16 13 15 syl
 |-  ( ph -> ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) C_ U )
17 1 2 3 16 mnuop3d
 |-  ( ph -> E. w e. U A. i e. A ( E. v e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) i e. v -> E. u e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) )
18 simprl
 |-  ( ( ph /\ ( w e. U /\ A. i e. A ( E. v e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) i e. v -> E. u e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) -> w e. U )
19 sseq2
 |-  ( b = w -> ( ran F C_ b <-> ran F C_ w ) )
20 19 adantl
 |-  ( ( ( ph /\ ( w e. U /\ A. i e. A ( E. v e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) i e. v -> E. u e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) /\ b = w ) -> ( ran F C_ b <-> ran F C_ w ) )
21 4 adantr
 |-  ( ( ph /\ ( w e. U /\ A. i e. A ( E. v e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) i e. v -> E. u e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) -> F : A --> U )
22 simprr
 |-  ( ( ph /\ ( w e. U /\ A. i e. A ( E. v e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) i e. v -> E. u e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) -> A. i e. A ( E. v e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) i e. v -> E. u e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) )
23 21 5 22 mnurndlem1
 |-  ( ( ph /\ ( w e. U /\ A. i e. A ( E. v e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) i e. v -> E. u e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) -> ran F C_ w )
24 18 20 23 rspcedvd
 |-  ( ( ph /\ ( w e. U /\ A. i e. A ( E. v e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) i e. v -> E. u e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) -> E. b e. U ran F C_ b )
25 17 24 rexlimddv
 |-  ( ph -> E. b e. U ran F C_ b )
26 1 2 25 mnuss2d
 |-  ( ph -> ran F e. U )