Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mnurndlem2.1 |
|- M = { k | A. l e. k ( ~P l C_ k /\ A. m E. n e. k ( ~P l C_ n /\ A. p e. l ( E. q e. k ( p e. q /\ q e. m ) -> E. r e. m ( p e. r /\ U. r C_ n ) ) ) ) } |
2 |
|
mnurndlem2.2 |
|- ( ph -> U e. M ) |
3 |
|
mnurndlem2.3 |
|- ( ph -> A e. U ) |
4 |
|
mnurndlem2.4 |
|- ( ph -> F : A --> U ) |
5 |
|
mnurndlem2.5 |
|- A e. _V |
6 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ a e. A ) -> U e. M ) |
7 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ a e. A ) -> A e. U ) |
8 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ a e. A ) -> a e. A ) |
9 |
1 6 7 8
|
mnutrcld |
|- ( ( ph /\ a e. A ) -> a e. U ) |
10 |
4
|
ffvelrnda |
|- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( F ` a ) e. U ) |
11 |
1 6 10 7
|
mnuprd |
|- ( ( ph /\ a e. A ) -> { ( F ` a ) , A } e. U ) |
12 |
1 6 9 11
|
mnuprd |
|- ( ( ph /\ a e. A ) -> { a , { ( F ` a ) , A } } e. U ) |
13 |
12
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. a e. A { a , { ( F ` a ) , A } } e. U ) |
14 |
|
eqid |
|- ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) = ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) |
15 |
14
|
rnmptss |
|- ( A. a e. A { a , { ( F ` a ) , A } } e. U -> ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) C_ U ) |
16 |
13 15
|
syl |
|- ( ph -> ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) C_ U ) |
17 |
1 2 3 16
|
mnuop3d |
|- ( ph -> E. w e. U A. i e. A ( E. v e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) i e. v -> E. u e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) |
18 |
|
simprl |
|- ( ( ph /\ ( w e. U /\ A. i e. A ( E. v e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) i e. v -> E. u e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) -> w e. U ) |
19 |
|
sseq2 |
|- ( b = w -> ( ran F C_ b <-> ran F C_ w ) ) |
20 |
19
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ ( w e. U /\ A. i e. A ( E. v e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) i e. v -> E. u e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) /\ b = w ) -> ( ran F C_ b <-> ran F C_ w ) ) |
21 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( w e. U /\ A. i e. A ( E. v e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) i e. v -> E. u e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) -> F : A --> U ) |
22 |
|
simprr |
|- ( ( ph /\ ( w e. U /\ A. i e. A ( E. v e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) i e. v -> E. u e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) -> A. i e. A ( E. v e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) i e. v -> E. u e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) |
23 |
21 5 22
|
mnurndlem1 |
|- ( ( ph /\ ( w e. U /\ A. i e. A ( E. v e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) i e. v -> E. u e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) -> ran F C_ w ) |
24 |
18 20 23
|
rspcedvd |
|- ( ( ph /\ ( w e. U /\ A. i e. A ( E. v e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) i e. v -> E. u e. ran ( a e. A |-> { a , { ( F ` a ) , A } } ) ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) -> E. b e. U ran F C_ b ) |
25 |
17 24
|
rexlimddv |
|- ( ph -> E. b e. U ran F C_ b ) |
26 |
1 2 25
|
mnuss2d |
|- ( ph -> ran F e. U ) |