Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mreclat.i |
|- I = ( toInc ` C ) |
2 |
|
mrelatlub.f |
|- F = ( mrCls ` C ) |
3 |
|
mrelatlub.l |
|- L = ( lub ` I ) |
4 |
|
eqid |
|- ( le ` I ) = ( le ` I ) |
5 |
1
|
ipobas |
|- ( C e. ( Moore ` X ) -> C = ( Base ` I ) ) |
6 |
5
|
adantr |
|- ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) -> C = ( Base ` I ) ) |
7 |
3
|
a1i |
|- ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) -> L = ( lub ` I ) ) |
8 |
1
|
ipopos |
|- I e. Poset |
9 |
8
|
a1i |
|- ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) -> I e. Poset ) |
10 |
|
simpr |
|- ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) -> U C_ C ) |
11 |
|
uniss |
|- ( U C_ C -> U. U C_ U. C ) |
12 |
11
|
adantl |
|- ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) -> U. U C_ U. C ) |
13 |
|
mreuni |
|- ( C e. ( Moore ` X ) -> U. C = X ) |
14 |
13
|
adantr |
|- ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) -> U. C = X ) |
15 |
12 14
|
sseqtrd |
|- ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) -> U. U C_ X ) |
16 |
2
|
mrccl |
|- ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U. U C_ X ) -> ( F ` U. U ) e. C ) |
17 |
15 16
|
syldan |
|- ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) -> ( F ` U. U ) e. C ) |
18 |
|
elssuni |
|- ( x e. U -> x C_ U. U ) |
19 |
2
|
mrcssid |
|- ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U. U C_ X ) -> U. U C_ ( F ` U. U ) ) |
20 |
15 19
|
syldan |
|- ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) -> U. U C_ ( F ` U. U ) ) |
21 |
18 20
|
sylan9ssr |
|- ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ x e. U ) -> x C_ ( F ` U. U ) ) |
22 |
|
simpll |
|- ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ x e. U ) -> C e. ( Moore ` X ) ) |
23 |
10
|
sselda |
|- ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ x e. U ) -> x e. C ) |
24 |
17
|
adantr |
|- ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ x e. U ) -> ( F ` U. U ) e. C ) |
25 |
1 4
|
ipole |
|- ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ x e. C /\ ( F ` U. U ) e. C ) -> ( x ( le ` I ) ( F ` U. U ) <-> x C_ ( F ` U. U ) ) ) |
26 |
22 23 24 25
|
syl3anc |
|- ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ x e. U ) -> ( x ( le ` I ) ( F ` U. U ) <-> x C_ ( F ` U. U ) ) ) |
27 |
21 26
|
mpbird |
|- ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ x e. U ) -> x ( le ` I ) ( F ` U. U ) ) |
28 |
|
simp1l |
|- ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ y e. C /\ A. x e. U x ( le ` I ) y ) -> C e. ( Moore ` X ) ) |
29 |
|
simplll |
|- ( ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ y e. C ) /\ x e. U ) -> C e. ( Moore ` X ) ) |
30 |
|
simplr |
|- ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ y e. C ) -> U C_ C ) |
31 |
30
|
sselda |
|- ( ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ y e. C ) /\ x e. U ) -> x e. C ) |
32 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ y e. C ) /\ x e. U ) -> y e. C ) |
33 |
1 4
|
ipole |
|- ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ x e. C /\ y e. C ) -> ( x ( le ` I ) y <-> x C_ y ) ) |
34 |
29 31 32 33
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ y e. C ) /\ x e. U ) -> ( x ( le ` I ) y <-> x C_ y ) ) |
35 |
34
|
biimpd |
|- ( ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ y e. C ) /\ x e. U ) -> ( x ( le ` I ) y -> x C_ y ) ) |
36 |
35
|
ralimdva |
|- ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ y e. C ) -> ( A. x e. U x ( le ` I ) y -> A. x e. U x C_ y ) ) |
37 |
36
|
3impia |
|- ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ y e. C /\ A. x e. U x ( le ` I ) y ) -> A. x e. U x C_ y ) |
38 |
|
unissb |
|- ( U. U C_ y <-> A. x e. U x C_ y ) |
39 |
37 38
|
sylibr |
|- ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ y e. C /\ A. x e. U x ( le ` I ) y ) -> U. U C_ y ) |
40 |
|
simp2 |
|- ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ y e. C /\ A. x e. U x ( le ` I ) y ) -> y e. C ) |
41 |
2
|
mrcsscl |
|- ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U. U C_ y /\ y e. C ) -> ( F ` U. U ) C_ y ) |
42 |
28 39 40 41
|
syl3anc |
|- ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ y e. C /\ A. x e. U x ( le ` I ) y ) -> ( F ` U. U ) C_ y ) |
43 |
17
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ y e. C /\ A. x e. U x ( le ` I ) y ) -> ( F ` U. U ) e. C ) |
44 |
1 4
|
ipole |
|- ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ ( F ` U. U ) e. C /\ y e. C ) -> ( ( F ` U. U ) ( le ` I ) y <-> ( F ` U. U ) C_ y ) ) |
45 |
28 43 40 44
|
syl3anc |
|- ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ y e. C /\ A. x e. U x ( le ` I ) y ) -> ( ( F ` U. U ) ( le ` I ) y <-> ( F ` U. U ) C_ y ) ) |
46 |
42 45
|
mpbird |
|- ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ y e. C /\ A. x e. U x ( le ` I ) y ) -> ( F ` U. U ) ( le ` I ) y ) |
47 |
4 6 7 9 10 17 27 46
|
poslubdg |
|- ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) -> ( L ` U ) = ( F ` U. U ) ) |