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Theorem mrelatlub

Description: Least upper bounds in a Moore space are realized by the closure of the union. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015) See mrelatlubALT for an alternate proof.

Ref Expression
Hypotheses mreclat.i
|- I = ( toInc ` C )
mrelatlub.f
|- F = ( mrCls ` C )
mrelatlub.l
|- L = ( lub ` I )
Assertion mrelatlub
|- ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) -> ( L ` U ) = ( F ` U. U ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mreclat.i
 |-  I = ( toInc ` C )
2 mrelatlub.f
 |-  F = ( mrCls ` C )
3 mrelatlub.l
 |-  L = ( lub ` I )
4 eqid
 |-  ( le ` I ) = ( le ` I )
5 1 ipobas
 |-  ( C e. ( Moore ` X ) -> C = ( Base ` I ) )
6 5 adantr
 |-  ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) -> C = ( Base ` I ) )
7 3 a1i
 |-  ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) -> L = ( lub ` I ) )
8 1 ipopos
 |-  I e. Poset
9 8 a1i
 |-  ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) -> I e. Poset )
10 simpr
 |-  ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) -> U C_ C )
11 uniss
 |-  ( U C_ C -> U. U C_ U. C )
12 11 adantl
 |-  ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) -> U. U C_ U. C )
13 mreuni
 |-  ( C e. ( Moore ` X ) -> U. C = X )
14 13 adantr
 |-  ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) -> U. C = X )
15 12 14 sseqtrd
 |-  ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) -> U. U C_ X )
16 2 mrccl
 |-  ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U. U C_ X ) -> ( F ` U. U ) e. C )
17 15 16 syldan
 |-  ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) -> ( F ` U. U ) e. C )
18 elssuni
 |-  ( x e. U -> x C_ U. U )
19 2 mrcssid
 |-  ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U. U C_ X ) -> U. U C_ ( F ` U. U ) )
20 15 19 syldan
 |-  ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) -> U. U C_ ( F ` U. U ) )
21 18 20 sylan9ssr
 |-  ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ x e. U ) -> x C_ ( F ` U. U ) )
22 simpll
 |-  ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ x e. U ) -> C e. ( Moore ` X ) )
23 10 sselda
 |-  ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ x e. U ) -> x e. C )
24 17 adantr
 |-  ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ x e. U ) -> ( F ` U. U ) e. C )
25 1 4 ipole
 |-  ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ x e. C /\ ( F ` U. U ) e. C ) -> ( x ( le ` I ) ( F ` U. U ) <-> x C_ ( F ` U. U ) ) )
26 22 23 24 25 syl3anc
 |-  ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ x e. U ) -> ( x ( le ` I ) ( F ` U. U ) <-> x C_ ( F ` U. U ) ) )
27 21 26 mpbird
 |-  ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ x e. U ) -> x ( le ` I ) ( F ` U. U ) )
28 simp1l
 |-  ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ y e. C /\ A. x e. U x ( le ` I ) y ) -> C e. ( Moore ` X ) )
29 simplll
 |-  ( ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ y e. C ) /\ x e. U ) -> C e. ( Moore ` X ) )
30 simplr
 |-  ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ y e. C ) -> U C_ C )
31 30 sselda
 |-  ( ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ y e. C ) /\ x e. U ) -> x e. C )
32 simplr
 |-  ( ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ y e. C ) /\ x e. U ) -> y e. C )
33 1 4 ipole
 |-  ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ x e. C /\ y e. C ) -> ( x ( le ` I ) y <-> x C_ y ) )
34 29 31 32 33 syl3anc
 |-  ( ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ y e. C ) /\ x e. U ) -> ( x ( le ` I ) y <-> x C_ y ) )
35 34 biimpd
 |-  ( ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ y e. C ) /\ x e. U ) -> ( x ( le ` I ) y -> x C_ y ) )
36 35 ralimdva
 |-  ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ y e. C ) -> ( A. x e. U x ( le ` I ) y -> A. x e. U x C_ y ) )
37 36 3impia
 |-  ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ y e. C /\ A. x e. U x ( le ` I ) y ) -> A. x e. U x C_ y )
38 unissb
 |-  ( U. U C_ y <-> A. x e. U x C_ y )
39 37 38 sylibr
 |-  ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ y e. C /\ A. x e. U x ( le ` I ) y ) -> U. U C_ y )
40 simp2
 |-  ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ y e. C /\ A. x e. U x ( le ` I ) y ) -> y e. C )
41 2 mrcsscl
 |-  ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U. U C_ y /\ y e. C ) -> ( F ` U. U ) C_ y )
42 28 39 40 41 syl3anc
 |-  ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ y e. C /\ A. x e. U x ( le ` I ) y ) -> ( F ` U. U ) C_ y )
43 17 3ad2ant1
 |-  ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ y e. C /\ A. x e. U x ( le ` I ) y ) -> ( F ` U. U ) e. C )
44 1 4 ipole
 |-  ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ ( F ` U. U ) e. C /\ y e. C ) -> ( ( F ` U. U ) ( le ` I ) y <-> ( F ` U. U ) C_ y ) )
45 28 43 40 44 syl3anc
 |-  ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ y e. C /\ A. x e. U x ( le ` I ) y ) -> ( ( F ` U. U ) ( le ` I ) y <-> ( F ` U. U ) C_ y ) )
46 42 45 mpbird
 |-  ( ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) /\ y e. C /\ A. x e. U x ( le ` I ) y ) -> ( F ` U. U ) ( le ` I ) y )
47 4 6 7 9 10 17 27 46 poslubdg
 |-  ( ( C e. ( Moore ` X ) /\ U C_ C ) -> ( L ` U ) = ( F ` U. U ) )