Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mulgaddcom.b |
|- B = ( Base ` G ) |
2 |
|
mulgaddcom.t |
|- .x. = ( .g ` G ) |
3 |
|
mulgaddcom.p |
|- .+ = ( +g ` G ) |
4 |
|
oveq1 |
|- ( x = 0 -> ( x .x. X ) = ( 0 .x. X ) ) |
5 |
4
|
oveq1d |
|- ( x = 0 -> ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( ( 0 .x. X ) .+ X ) ) |
6 |
4
|
oveq2d |
|- ( x = 0 -> ( X .+ ( x .x. X ) ) = ( X .+ ( 0 .x. X ) ) ) |
7 |
5 6
|
eqeq12d |
|- ( x = 0 -> ( ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( x .x. X ) ) <-> ( ( 0 .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( 0 .x. X ) ) ) ) |
8 |
|
oveq1 |
|- ( x = y -> ( x .x. X ) = ( y .x. X ) ) |
9 |
8
|
oveq1d |
|- ( x = y -> ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( ( y .x. X ) .+ X ) ) |
10 |
8
|
oveq2d |
|- ( x = y -> ( X .+ ( x .x. X ) ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) |
11 |
9 10
|
eqeq12d |
|- ( x = y -> ( ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( x .x. X ) ) <-> ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) ) |
12 |
|
oveq1 |
|- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .x. X ) = ( ( y + 1 ) .x. X ) ) |
13 |
12
|
oveq1d |
|- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .+ X ) ) |
14 |
12
|
oveq2d |
|- ( x = ( y + 1 ) -> ( X .+ ( x .x. X ) ) = ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) |
15 |
13 14
|
eqeq12d |
|- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( x .x. X ) ) <-> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) ) |
16 |
|
oveq1 |
|- ( x = -u y -> ( x .x. X ) = ( -u y .x. X ) ) |
17 |
16
|
oveq1d |
|- ( x = -u y -> ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( ( -u y .x. X ) .+ X ) ) |
18 |
16
|
oveq2d |
|- ( x = -u y -> ( X .+ ( x .x. X ) ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) ) |
19 |
17 18
|
eqeq12d |
|- ( x = -u y -> ( ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( x .x. X ) ) <-> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) ) ) |
20 |
|
oveq1 |
|- ( x = N -> ( x .x. X ) = ( N .x. X ) ) |
21 |
20
|
oveq1d |
|- ( x = N -> ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( ( N .x. X ) .+ X ) ) |
22 |
20
|
oveq2d |
|- ( x = N -> ( X .+ ( x .x. X ) ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) ) |
23 |
21 22
|
eqeq12d |
|- ( x = N -> ( ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( x .x. X ) ) <-> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) ) ) |
24 |
|
eqid |
|- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G ) |
25 |
1 3 24
|
grplid |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ X ) = X ) |
26 |
1 24 2
|
mulg0 |
|- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) ) |
27 |
26
|
adantl |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) ) |
28 |
27
|
oveq1d |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( 0 .x. X ) .+ X ) = ( ( 0g ` G ) .+ X ) ) |
29 |
27
|
oveq2d |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0 .x. X ) ) = ( X .+ ( 0g ` G ) ) ) |
30 |
1 3 24
|
grprid |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X ) |
31 |
29 30
|
eqtrd |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0 .x. X ) ) = X ) |
32 |
25 28 31
|
3eqtr4d |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( 0 .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( 0 .x. X ) ) ) |
33 |
|
nn0z |
|- ( y e. NN0 -> y e. ZZ ) |
34 |
|
simp1 |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. ZZ ) -> G e. Grp ) |
35 |
|
simp2 |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. ZZ ) -> X e. B ) |
36 |
1 2
|
mulgcl |
|- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( y .x. X ) e. B ) |
37 |
36
|
3com23 |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. ZZ ) -> ( y .x. X ) e. B ) |
38 |
1 3
|
grpass |
|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ ( y .x. X ) e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( X .+ ( y .x. X ) ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y .x. X ) .+ X ) ) ) |
39 |
34 35 37 35 38
|
syl13anc |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. ZZ ) -> ( ( X .+ ( y .x. X ) ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y .x. X ) .+ X ) ) ) |
40 |
33 39
|
syl3an3 |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> ( ( X .+ ( y .x. X ) ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y .x. X ) .+ X ) ) ) |
41 |
40
|
adantr |
|- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( X .+ ( y .x. X ) ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y .x. X ) .+ X ) ) ) |
42 |
|
grpmnd |
|- ( G e. Grp -> G e. Mnd ) |
43 |
42
|
3ad2ant1 |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> G e. Mnd ) |
44 |
|
simp3 |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> y e. NN0 ) |
45 |
|
simp2 |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> X e. B ) |
46 |
1 2 3
|
mulgnn0p1 |
|- ( ( G e. Mnd /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) .+ X ) ) |
47 |
43 44 45 46
|
syl3anc |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) .+ X ) ) |
48 |
47
|
eqeq1d |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) <-> ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) ) |
49 |
48
|
biimpar |
|- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) |
50 |
49
|
oveq1d |
|- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .+ X ) = ( ( X .+ ( y .x. X ) ) .+ X ) ) |
51 |
47
|
oveq2d |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) = ( X .+ ( ( y .x. X ) .+ X ) ) ) |
52 |
51
|
adantr |
|- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) = ( X .+ ( ( y .x. X ) .+ X ) ) ) |
53 |
41 50 52
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) |
54 |
53
|
ex |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) ) |
55 |
54
|
3expia |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( y e. NN0 -> ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) ) ) |
56 |
|
nnz |
|- ( y e. NN -> y e. ZZ ) |
57 |
1 2 3
|
mulgaddcomlem |
|- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) ) |
58 |
57
|
3exp1 |
|- ( G e. Grp -> ( y e. ZZ -> ( X e. B -> ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) ) ) ) ) |
59 |
58
|
com23 |
|- ( G e. Grp -> ( X e. B -> ( y e. ZZ -> ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) ) ) ) ) |
60 |
59
|
imp |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( y e. ZZ -> ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) ) ) ) |
61 |
56 60
|
syl5 |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( y e. NN -> ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) ) ) ) |
62 |
7 11 15 19 23 32 55 61
|
zindd |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N e. ZZ -> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) ) ) |
63 |
62
|
ex |
|- ( G e. Grp -> ( X e. B -> ( N e. ZZ -> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) ) ) ) |
64 |
63
|
com23 |
|- ( G e. Grp -> ( N e. ZZ -> ( X e. B -> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) ) ) ) |
65 |
64
|
3imp |
|- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) ) |