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Theorem neicvgmex

Description: If the neighborhoods and convergents functions are related, the convergents function exists. (Contributed by RP, 27-Jun-2021)

Ref Expression
Hypotheses neicvg.o 
|- O = ( i e. _V , j e. _V |-> ( k e. ( ~P j ^m i ) |-> ( l e. j |-> { m e. i | l e. ( k ` m ) } ) ) )
neicvg.p 
|- P = ( n e. _V |-> ( p e. ( ~P n ^m ~P n ) |-> ( o e. ~P n |-> ( n \ ( p ` ( n \ o ) ) ) ) ) )
neicvg.d 
|- D = ( P ` B )
neicvg.f 
|- F = ( ~P B O B )
neicvg.g 
|- G = ( B O ~P B )
neicvg.h 
|- H = ( F o. ( D o. G ) )
neicvg.r 
|- ( ph -> N H M )
Assertion neicvgmex 
|- ( ph -> M e. ( ~P ~P B ^m B ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 neicvg.o 
 |-  O = ( i e. _V , j e. _V |-> ( k e. ( ~P j ^m i ) |-> ( l e. j |-> { m e. i | l e. ( k ` m ) } ) ) )
2 neicvg.p 
 |-  P = ( n e. _V |-> ( p e. ( ~P n ^m ~P n ) |-> ( o e. ~P n |-> ( n \ ( p ` ( n \ o ) ) ) ) ) )
3 neicvg.d 
 |-  D = ( P ` B )
4 neicvg.f 
 |-  F = ( ~P B O B )
5 neicvg.g 
 |-  G = ( B O ~P B )
6 neicvg.h 
 |-  H = ( F o. ( D o. G ) )
7 neicvg.r 
 |-  ( ph -> N H M )
8 3 6 7 neicvgbex 
 |-  ( ph -> B e. _V )
9 pwexg 
 |-  ( B e. _V -> ~P B e. _V )
10 9 adantl 
 |-  ( ( ph /\ B e. _V ) -> ~P B e. _V )
11 simpr 
 |-  ( ( ph /\ B e. _V ) -> B e. _V )
12 1 10 11 4 fsovf1od 
 |-  ( ( ph /\ B e. _V ) -> F : ( ~P B ^m ~P B ) -1-1-onto-> ( ~P ~P B ^m B ) )
13 f1ofn 
 |-  ( F : ( ~P B ^m ~P B ) -1-1-onto-> ( ~P ~P B ^m B ) -> F Fn ( ~P B ^m ~P B ) )
14 12 13 syl 
 |-  ( ( ph /\ B e. _V ) -> F Fn ( ~P B ^m ~P B ) )
15 2 3 11 dssmapf1od 
 |-  ( ( ph /\ B e. _V ) -> D : ( ~P B ^m ~P B ) -1-1-onto-> ( ~P B ^m ~P B ) )
16 f1of 
 |-  ( D : ( ~P B ^m ~P B ) -1-1-onto-> ( ~P B ^m ~P B ) -> D : ( ~P B ^m ~P B ) --> ( ~P B ^m ~P B ) )
17 15 16 syl 
 |-  ( ( ph /\ B e. _V ) -> D : ( ~P B ^m ~P B ) --> ( ~P B ^m ~P B ) )
18 1 11 10 5 fsovfd 
 |-  ( ( ph /\ B e. _V ) -> G : ( ~P ~P B ^m B ) --> ( ~P B ^m ~P B ) )
19 6 breqi 
 |-  ( N H M <-> N ( F o. ( D o. G ) ) M )
20 7 19 sylib 
 |-  ( ph -> N ( F o. ( D o. G ) ) M )
21 20 adantr 
 |-  ( ( ph /\ B e. _V ) -> N ( F o. ( D o. G ) ) M )
22 14 17 18 21 brcofffn 
 |-  ( ( ph /\ B e. _V ) -> ( N G ( G ` N ) /\ ( G ` N ) D ( D ` ( G ` N ) ) /\ ( D ` ( G ` N ) ) F M ) )
23 8 22 mpdan 
 |-  ( ph -> ( N G ( G ` N ) /\ ( G ` N ) D ( D ` ( G ` N ) ) /\ ( D ` ( G ` N ) ) F M ) )
24 23 simp3d 
 |-  ( ph -> ( D ` ( G ` N ) ) F M )
25 1 4 24 ntrneinex 
 |-  ( ph -> M e. ( ~P ~P B ^m B ) )