Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
normcl |
|- ( A e. ~H -> ( normh ` A ) e. RR ) |
2 |
1
|
resqcld |
|- ( A e. ~H -> ( ( normh ` A ) ^ 2 ) e. RR ) |
3 |
2
|
recnd |
|- ( A e. ~H -> ( ( normh ` A ) ^ 2 ) e. CC ) |
4 |
3
|
addid1d |
|- ( A e. ~H -> ( ( ( normh ` A ) ^ 2 ) + 0 ) = ( ( normh ` A ) ^ 2 ) ) |
5 |
4
|
adantr |
|- ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( ( ( normh ` A ) ^ 2 ) + 0 ) = ( ( normh ` A ) ^ 2 ) ) |
6 |
|
normcl |
|- ( B e. ~H -> ( normh ` B ) e. RR ) |
7 |
6
|
sqge0d |
|- ( B e. ~H -> 0 <_ ( ( normh ` B ) ^ 2 ) ) |
8 |
7
|
adantl |
|- ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) -> 0 <_ ( ( normh ` B ) ^ 2 ) ) |
9 |
6
|
resqcld |
|- ( B e. ~H -> ( ( normh ` B ) ^ 2 ) e. RR ) |
10 |
|
0re |
|- 0 e. RR |
11 |
|
leadd2 |
|- ( ( 0 e. RR /\ ( ( normh ` B ) ^ 2 ) e. RR /\ ( ( normh ` A ) ^ 2 ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( normh ` B ) ^ 2 ) <-> ( ( ( normh ` A ) ^ 2 ) + 0 ) <_ ( ( ( normh ` A ) ^ 2 ) + ( ( normh ` B ) ^ 2 ) ) ) ) |
12 |
10 11
|
mp3an1 |
|- ( ( ( ( normh ` B ) ^ 2 ) e. RR /\ ( ( normh ` A ) ^ 2 ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( normh ` B ) ^ 2 ) <-> ( ( ( normh ` A ) ^ 2 ) + 0 ) <_ ( ( ( normh ` A ) ^ 2 ) + ( ( normh ` B ) ^ 2 ) ) ) ) |
13 |
9 2 12
|
syl2anr |
|- ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( 0 <_ ( ( normh ` B ) ^ 2 ) <-> ( ( ( normh ` A ) ^ 2 ) + 0 ) <_ ( ( ( normh ` A ) ^ 2 ) + ( ( normh ` B ) ^ 2 ) ) ) ) |
14 |
8 13
|
mpbid |
|- ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( ( ( normh ` A ) ^ 2 ) + 0 ) <_ ( ( ( normh ` A ) ^ 2 ) + ( ( normh ` B ) ^ 2 ) ) ) |
15 |
5 14
|
eqbrtrrd |
|- ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( ( normh ` A ) ^ 2 ) <_ ( ( ( normh ` A ) ^ 2 ) + ( ( normh ` B ) ^ 2 ) ) ) |
16 |
15
|
adantr |
|- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( A .ih B ) = 0 ) -> ( ( normh ` A ) ^ 2 ) <_ ( ( ( normh ` A ) ^ 2 ) + ( ( normh ` B ) ^ 2 ) ) ) |
17 |
|
normpyth |
|- ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( ( A .ih B ) = 0 -> ( ( normh ` ( A +h B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( normh ` A ) ^ 2 ) + ( ( normh ` B ) ^ 2 ) ) ) ) |
18 |
17
|
imp |
|- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( A .ih B ) = 0 ) -> ( ( normh ` ( A +h B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( normh ` A ) ^ 2 ) + ( ( normh ` B ) ^ 2 ) ) ) |
19 |
16 18
|
breqtrrd |
|- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( A .ih B ) = 0 ) -> ( ( normh ` A ) ^ 2 ) <_ ( ( normh ` ( A +h B ) ) ^ 2 ) ) |
20 |
19
|
ex |
|- ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( ( A .ih B ) = 0 -> ( ( normh ` A ) ^ 2 ) <_ ( ( normh ` ( A +h B ) ) ^ 2 ) ) ) |
21 |
1
|
adantr |
|- ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( normh ` A ) e. RR ) |
22 |
|
hvaddcl |
|- ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( A +h B ) e. ~H ) |
23 |
|
normcl |
|- ( ( A +h B ) e. ~H -> ( normh ` ( A +h B ) ) e. RR ) |
24 |
22 23
|
syl |
|- ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( normh ` ( A +h B ) ) e. RR ) |
25 |
|
normge0 |
|- ( A e. ~H -> 0 <_ ( normh ` A ) ) |
26 |
25
|
adantr |
|- ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) -> 0 <_ ( normh ` A ) ) |
27 |
|
normge0 |
|- ( ( A +h B ) e. ~H -> 0 <_ ( normh ` ( A +h B ) ) ) |
28 |
22 27
|
syl |
|- ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) -> 0 <_ ( normh ` ( A +h B ) ) ) |
29 |
21 24 26 28
|
le2sqd |
|- ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( ( normh ` A ) <_ ( normh ` ( A +h B ) ) <-> ( ( normh ` A ) ^ 2 ) <_ ( ( normh ` ( A +h B ) ) ^ 2 ) ) ) |
30 |
20 29
|
sylibrd |
|- ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( ( A .ih B ) = 0 -> ( normh ` A ) <_ ( normh ` ( A +h B ) ) ) ) |