Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nsmallnq |
|- ( A e. Q. -> E. x x |
2 |
|
abn0 |
|- ( { x | x E. x x |
3 |
1 2
|
sylibr |
|- ( A e. Q. -> { x | x |
4 |
|
0pss |
|- ( (/) C. { x | x { x | x |
5 |
3 4
|
sylibr |
|- ( A e. Q. -> (/) C. { x | x |
6 |
|
ltrelnq |
|- |
7 |
6
|
brel |
|- ( x ( x e. Q. /\ A e. Q. ) ) |
8 |
7
|
simpld |
|- ( x x e. Q. ) |
9 |
8
|
abssi |
|- { x | x |
10 |
|
ltsonq |
|- |
11 |
10 6
|
soirri |
|- -. A |
12 |
|
breq1 |
|- ( x = A -> ( x A |
13 |
12
|
elabg |
|- ( A e. Q. -> ( A e. { x | x A |
14 |
11 13
|
mtbiri |
|- ( A e. Q. -> -. A e. { x | x |
15 |
14
|
ancli |
|- ( A e. Q. -> ( A e. Q. /\ -. A e. { x | x |
16 |
|
ssnelpss |
|- ( { x | x ( ( A e. Q. /\ -. A e. { x | x { x | x |
17 |
9 15 16
|
mpsyl |
|- ( A e. Q. -> { x | x |
18 |
|
vex |
|- y e. _V |
19 |
|
breq1 |
|- ( x = y -> ( x y |
20 |
18 19
|
elab |
|- ( y e. { x | x y |
21 |
10 6
|
sotri |
|- ( ( z z |
22 |
21
|
expcom |
|- ( y ( z z |
23 |
22
|
adantl |
|- ( ( A e. Q. /\ y ( z z |
24 |
|
vex |
|- z e. _V |
25 |
|
breq1 |
|- ( x = z -> ( x z |
26 |
24 25
|
elab |
|- ( z e. { x | x z |
27 |
23 26
|
syl6ibr |
|- ( ( A e. Q. /\ y ( z z e. { x | x |
28 |
27
|
alrimiv |
|- ( ( A e. Q. /\ y A. z ( z z e. { x | x |
29 |
|
ltbtwnnq |
|- ( y E. z ( y |
30 |
26
|
anbi2i |
|- ( ( y ( y |
31 |
30
|
biimpri |
|- ( ( y ( y |
32 |
31
|
ancomd |
|- ( ( y ( z e. { x | x |
33 |
32
|
eximi |
|- ( E. z ( y E. z ( z e. { x | x |
34 |
29 33
|
sylbi |
|- ( y E. z ( z e. { x | x |
35 |
34
|
adantl |
|- ( ( A e. Q. /\ y E. z ( z e. { x | x |
36 |
|
df-rex |
|- ( E. z e. { x | x E. z ( z e. { x | x |
37 |
35 36
|
sylibr |
|- ( ( A e. Q. /\ y E. z e. { x | x |
38 |
28 37
|
jca |
|- ( ( A e. Q. /\ y ( A. z ( z z e. { x | x |
39 |
20 38
|
sylan2b |
|- ( ( A e. Q. /\ y e. { x | x ( A. z ( z z e. { x | x |
40 |
39
|
ralrimiva |
|- ( A e. Q. -> A. y e. { x | x z e. { x | x |
41 |
|
elnp |
|- ( { x | x ( ( (/) C. { x | x z e. { x | x |
42 |
5 17 40 41
|
syl21anbrc |
|- ( A e. Q. -> { x | x |