Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
phlpropd.1 |
|- ( ph -> B = ( Base ` K ) ) |
2 |
|
phlpropd.2 |
|- ( ph -> B = ( Base ` L ) ) |
3 |
|
phlpropd.3 |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) ) |
4 |
|
phlpropd.4 |
|- ( ph -> F = ( Scalar ` K ) ) |
5 |
|
phlpropd.5 |
|- ( ph -> F = ( Scalar ` L ) ) |
6 |
|
phlpropd.6 |
|- P = ( Base ` F ) |
7 |
|
phlpropd.7 |
|- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) = ( x ( .s ` L ) y ) ) |
8 |
|
phlpropd.8 |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .i ` K ) y ) = ( x ( .i ` L ) y ) ) |
9 |
1 2 3 4 5 6 7
|
lvecpropd |
|- ( ph -> ( K e. LVec <-> L e. LVec ) ) |
10 |
4 5
|
eqtr3d |
|- ( ph -> ( Scalar ` K ) = ( Scalar ` L ) ) |
11 |
10
|
eleq1d |
|- ( ph -> ( ( Scalar ` K ) e. *Ring <-> ( Scalar ` L ) e. *Ring ) ) |
12 |
8
|
oveqrspc2v |
|- ( ( ph /\ ( b e. B /\ a e. B ) ) -> ( b ( .i ` K ) a ) = ( b ( .i ` L ) a ) ) |
13 |
12
|
anass1rs |
|- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. B ) -> ( b ( .i ` K ) a ) = ( b ( .i ` L ) a ) ) |
14 |
13
|
mpteq2dva |
|- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( b e. B |-> ( b ( .i ` K ) a ) ) = ( b e. B |-> ( b ( .i ` L ) a ) ) ) |
15 |
1
|
adantr |
|- ( ( ph /\ a e. B ) -> B = ( Base ` K ) ) |
16 |
15
|
mpteq1d |
|- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( b e. B |-> ( b ( .i ` K ) a ) ) = ( b e. ( Base ` K ) |-> ( b ( .i ` K ) a ) ) ) |
17 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ a e. B ) -> B = ( Base ` L ) ) |
18 |
17
|
mpteq1d |
|- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( b e. B |-> ( b ( .i ` L ) a ) ) = ( b e. ( Base ` L ) |-> ( b ( .i ` L ) a ) ) ) |
19 |
14 16 18
|
3eqtr3d |
|- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( b e. ( Base ` K ) |-> ( b ( .i ` K ) a ) ) = ( b e. ( Base ` L ) |-> ( b ( .i ` L ) a ) ) ) |
20 |
|
rlmbas |
|- ( Base ` F ) = ( Base ` ( ringLMod ` F ) ) |
21 |
6 20
|
eqtri |
|- P = ( Base ` ( ringLMod ` F ) ) |
22 |
21
|
a1i |
|- ( ph -> P = ( Base ` ( ringLMod ` F ) ) ) |
23 |
|
fvex |
|- ( Scalar ` K ) e. _V |
24 |
4 23
|
eqeltrdi |
|- ( ph -> F e. _V ) |
25 |
|
rlmsca |
|- ( F e. _V -> F = ( Scalar ` ( ringLMod ` F ) ) ) |
26 |
24 25
|
syl |
|- ( ph -> F = ( Scalar ` ( ringLMod ` F ) ) ) |
27 |
|
eqidd |
|- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. P ) ) -> ( x ( +g ` ( ringLMod ` F ) ) y ) = ( x ( +g ` ( ringLMod ` F ) ) y ) ) |
28 |
|
eqidd |
|- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. P ) ) -> ( x ( .s ` ( ringLMod ` F ) ) y ) = ( x ( .s ` ( ringLMod ` F ) ) y ) ) |
29 |
1 22 2 22 4 26 5 26 6 6 3 27 7 28
|
lmhmpropd |
|- ( ph -> ( K LMHom ( ringLMod ` F ) ) = ( L LMHom ( ringLMod ` F ) ) ) |
30 |
4
|
fveq2d |
|- ( ph -> ( ringLMod ` F ) = ( ringLMod ` ( Scalar ` K ) ) ) |
31 |
30
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( K LMHom ( ringLMod ` F ) ) = ( K LMHom ( ringLMod ` ( Scalar ` K ) ) ) ) |
32 |
5
|
fveq2d |
|- ( ph -> ( ringLMod ` F ) = ( ringLMod ` ( Scalar ` L ) ) ) |
33 |
32
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( L LMHom ( ringLMod ` F ) ) = ( L LMHom ( ringLMod ` ( Scalar ` L ) ) ) ) |
34 |
29 31 33
|
3eqtr3d |
|- ( ph -> ( K LMHom ( ringLMod ` ( Scalar ` K ) ) ) = ( L LMHom ( ringLMod ` ( Scalar ` L ) ) ) ) |
35 |
34
|
adantr |
|- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( K LMHom ( ringLMod ` ( Scalar ` K ) ) ) = ( L LMHom ( ringLMod ` ( Scalar ` L ) ) ) ) |
36 |
19 35
|
eleq12d |
|- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( b e. ( Base ` K ) |-> ( b ( .i ` K ) a ) ) e. ( K LMHom ( ringLMod ` ( Scalar ` K ) ) ) <-> ( b e. ( Base ` L ) |-> ( b ( .i ` L ) a ) ) e. ( L LMHom ( ringLMod ` ( Scalar ` L ) ) ) ) ) |
37 |
8
|
oveqrspc2v |
|- ( ( ph /\ ( a e. B /\ a e. B ) ) -> ( a ( .i ` K ) a ) = ( a ( .i ` L ) a ) ) |
38 |
37
|
anabsan2 |
|- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( a ( .i ` K ) a ) = ( a ( .i ` L ) a ) ) |
39 |
10
|
fveq2d |
|- ( ph -> ( 0g ` ( Scalar ` K ) ) = ( 0g ` ( Scalar ` L ) ) ) |
40 |
39
|
adantr |
|- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( 0g ` ( Scalar ` K ) ) = ( 0g ` ( Scalar ` L ) ) ) |
41 |
38 40
|
eqeq12d |
|- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( a ( .i ` K ) a ) = ( 0g ` ( Scalar ` K ) ) <-> ( a ( .i ` L ) a ) = ( 0g ` ( Scalar ` L ) ) ) ) |
42 |
1 2 3
|
grpidpropd |
|- ( ph -> ( 0g ` K ) = ( 0g ` L ) ) |
43 |
42
|
adantr |
|- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( 0g ` K ) = ( 0g ` L ) ) |
44 |
43
|
eqeq2d |
|- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( a = ( 0g ` K ) <-> a = ( 0g ` L ) ) ) |
45 |
41 44
|
imbi12d |
|- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( ( a ( .i ` K ) a ) = ( 0g ` ( Scalar ` K ) ) -> a = ( 0g ` K ) ) <-> ( ( a ( .i ` L ) a ) = ( 0g ` ( Scalar ` L ) ) -> a = ( 0g ` L ) ) ) ) |
46 |
10
|
fveq2d |
|- ( ph -> ( *r ` ( Scalar ` K ) ) = ( *r ` ( Scalar ` L ) ) ) |
47 |
46
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( *r ` ( Scalar ` K ) ) = ( *r ` ( Scalar ` L ) ) ) |
48 |
8
|
oveqrspc2v |
|- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a ( .i ` K ) b ) = ( a ( .i ` L ) b ) ) |
49 |
47 48
|
fveq12d |
|- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( *r ` ( Scalar ` K ) ) ` ( a ( .i ` K ) b ) ) = ( ( *r ` ( Scalar ` L ) ) ` ( a ( .i ` L ) b ) ) ) |
50 |
49
|
anassrs |
|- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. B ) -> ( ( *r ` ( Scalar ` K ) ) ` ( a ( .i ` K ) b ) ) = ( ( *r ` ( Scalar ` L ) ) ` ( a ( .i ` L ) b ) ) ) |
51 |
50 13
|
eqeq12d |
|- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. B ) -> ( ( ( *r ` ( Scalar ` K ) ) ` ( a ( .i ` K ) b ) ) = ( b ( .i ` K ) a ) <-> ( ( *r ` ( Scalar ` L ) ) ` ( a ( .i ` L ) b ) ) = ( b ( .i ` L ) a ) ) ) |
52 |
51
|
ralbidva |
|- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( A. b e. B ( ( *r ` ( Scalar ` K ) ) ` ( a ( .i ` K ) b ) ) = ( b ( .i ` K ) a ) <-> A. b e. B ( ( *r ` ( Scalar ` L ) ) ` ( a ( .i ` L ) b ) ) = ( b ( .i ` L ) a ) ) ) |
53 |
15
|
raleqdv |
|- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( A. b e. B ( ( *r ` ( Scalar ` K ) ) ` ( a ( .i ` K ) b ) ) = ( b ( .i ` K ) a ) <-> A. b e. ( Base ` K ) ( ( *r ` ( Scalar ` K ) ) ` ( a ( .i ` K ) b ) ) = ( b ( .i ` K ) a ) ) ) |
54 |
17
|
raleqdv |
|- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( A. b e. B ( ( *r ` ( Scalar ` L ) ) ` ( a ( .i ` L ) b ) ) = ( b ( .i ` L ) a ) <-> A. b e. ( Base ` L ) ( ( *r ` ( Scalar ` L ) ) ` ( a ( .i ` L ) b ) ) = ( b ( .i ` L ) a ) ) ) |
55 |
52 53 54
|
3bitr3d |
|- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( A. b e. ( Base ` K ) ( ( *r ` ( Scalar ` K ) ) ` ( a ( .i ` K ) b ) ) = ( b ( .i ` K ) a ) <-> A. b e. ( Base ` L ) ( ( *r ` ( Scalar ` L ) ) ` ( a ( .i ` L ) b ) ) = ( b ( .i ` L ) a ) ) ) |
56 |
36 45 55
|
3anbi123d |
|- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( ( b e. ( Base ` K ) |-> ( b ( .i ` K ) a ) ) e. ( K LMHom ( ringLMod ` ( Scalar ` K ) ) ) /\ ( ( a ( .i ` K ) a ) = ( 0g ` ( Scalar ` K ) ) -> a = ( 0g ` K ) ) /\ A. b e. ( Base ` K ) ( ( *r ` ( Scalar ` K ) ) ` ( a ( .i ` K ) b ) ) = ( b ( .i ` K ) a ) ) <-> ( ( b e. ( Base ` L ) |-> ( b ( .i ` L ) a ) ) e. ( L LMHom ( ringLMod ` ( Scalar ` L ) ) ) /\ ( ( a ( .i ` L ) a ) = ( 0g ` ( Scalar ` L ) ) -> a = ( 0g ` L ) ) /\ A. b e. ( Base ` L ) ( ( *r ` ( Scalar ` L ) ) ` ( a ( .i ` L ) b ) ) = ( b ( .i ` L ) a ) ) ) ) |
57 |
56
|
ralbidva |
|- ( ph -> ( A. a e. B ( ( b e. ( Base ` K ) |-> ( b ( .i ` K ) a ) ) e. ( K LMHom ( ringLMod ` ( Scalar ` K ) ) ) /\ ( ( a ( .i ` K ) a ) = ( 0g ` ( Scalar ` K ) ) -> a = ( 0g ` K ) ) /\ A. b e. ( Base ` K ) ( ( *r ` ( Scalar ` K ) ) ` ( a ( .i ` K ) b ) ) = ( b ( .i ` K ) a ) ) <-> A. a e. B ( ( b e. ( Base ` L ) |-> ( b ( .i ` L ) a ) ) e. ( L LMHom ( ringLMod ` ( Scalar ` L ) ) ) /\ ( ( a ( .i ` L ) a ) = ( 0g ` ( Scalar ` L ) ) -> a = ( 0g ` L ) ) /\ A. b e. ( Base ` L ) ( ( *r ` ( Scalar ` L ) ) ` ( a ( .i ` L ) b ) ) = ( b ( .i ` L ) a ) ) ) ) |
58 |
1
|
raleqdv |
|- ( ph -> ( A. a e. B ( ( b e. ( Base ` K ) |-> ( b ( .i ` K ) a ) ) e. ( K LMHom ( ringLMod ` ( Scalar ` K ) ) ) /\ ( ( a ( .i ` K ) a ) = ( 0g ` ( Scalar ` K ) ) -> a = ( 0g ` K ) ) /\ A. b e. ( Base ` K ) ( ( *r ` ( Scalar ` K ) ) ` ( a ( .i ` K ) b ) ) = ( b ( .i ` K ) a ) ) <-> A. a e. ( Base ` K ) ( ( b e. ( Base ` K ) |-> ( b ( .i ` K ) a ) ) e. ( K LMHom ( ringLMod ` ( Scalar ` K ) ) ) /\ ( ( a ( .i ` K ) a ) = ( 0g ` ( Scalar ` K ) ) -> a = ( 0g ` K ) ) /\ A. b e. ( Base ` K ) ( ( *r ` ( Scalar ` K ) ) ` ( a ( .i ` K ) b ) ) = ( b ( .i ` K ) a ) ) ) ) |
59 |
2
|
raleqdv |
|- ( ph -> ( A. a e. B ( ( b e. ( Base ` L ) |-> ( b ( .i ` L ) a ) ) e. ( L LMHom ( ringLMod ` ( Scalar ` L ) ) ) /\ ( ( a ( .i ` L ) a ) = ( 0g ` ( Scalar ` L ) ) -> a = ( 0g ` L ) ) /\ A. b e. ( Base ` L ) ( ( *r ` ( Scalar ` L ) ) ` ( a ( .i ` L ) b ) ) = ( b ( .i ` L ) a ) ) <-> A. a e. ( Base ` L ) ( ( b e. ( Base ` L ) |-> ( b ( .i ` L ) a ) ) e. ( L LMHom ( ringLMod ` ( Scalar ` L ) ) ) /\ ( ( a ( .i ` L ) a ) = ( 0g ` ( Scalar ` L ) ) -> a = ( 0g ` L ) ) /\ A. b e. ( Base ` L ) ( ( *r ` ( Scalar ` L ) ) ` ( a ( .i ` L ) b ) ) = ( b ( .i ` L ) a ) ) ) ) |
60 |
57 58 59
|
3bitr3d |
|- ( ph -> ( A. a e. ( Base ` K ) ( ( b e. ( Base ` K ) |-> ( b ( .i ` K ) a ) ) e. ( K LMHom ( ringLMod ` ( Scalar ` K ) ) ) /\ ( ( a ( .i ` K ) a ) = ( 0g ` ( Scalar ` K ) ) -> a = ( 0g ` K ) ) /\ A. b e. ( Base ` K ) ( ( *r ` ( Scalar ` K ) ) ` ( a ( .i ` K ) b ) ) = ( b ( .i ` K ) a ) ) <-> A. a e. ( Base ` L ) ( ( b e. ( Base ` L ) |-> ( b ( .i ` L ) a ) ) e. ( L LMHom ( ringLMod ` ( Scalar ` L ) ) ) /\ ( ( a ( .i ` L ) a ) = ( 0g ` ( Scalar ` L ) ) -> a = ( 0g ` L ) ) /\ A. b e. ( Base ` L ) ( ( *r ` ( Scalar ` L ) ) ` ( a ( .i ` L ) b ) ) = ( b ( .i ` L ) a ) ) ) ) |
61 |
9 11 60
|
3anbi123d |
|- ( ph -> ( ( K e. LVec /\ ( Scalar ` K ) e. *Ring /\ A. a e. ( Base ` K ) ( ( b e. ( Base ` K ) |-> ( b ( .i ` K ) a ) ) e. ( K LMHom ( ringLMod ` ( Scalar ` K ) ) ) /\ ( ( a ( .i ` K ) a ) = ( 0g ` ( Scalar ` K ) ) -> a = ( 0g ` K ) ) /\ A. b e. ( Base ` K ) ( ( *r ` ( Scalar ` K ) ) ` ( a ( .i ` K ) b ) ) = ( b ( .i ` K ) a ) ) ) <-> ( L e. LVec /\ ( Scalar ` L ) e. *Ring /\ A. a e. ( Base ` L ) ( ( b e. ( Base ` L ) |-> ( b ( .i ` L ) a ) ) e. ( L LMHom ( ringLMod ` ( Scalar ` L ) ) ) /\ ( ( a ( .i ` L ) a ) = ( 0g ` ( Scalar ` L ) ) -> a = ( 0g ` L ) ) /\ A. b e. ( Base ` L ) ( ( *r ` ( Scalar ` L ) ) ` ( a ( .i ` L ) b ) ) = ( b ( .i ` L ) a ) ) ) ) ) |
62 |
|
eqid |
|- ( Base ` K ) = ( Base ` K ) |
63 |
|
eqid |
|- ( Scalar ` K ) = ( Scalar ` K ) |
64 |
|
eqid |
|- ( .i ` K ) = ( .i ` K ) |
65 |
|
eqid |
|- ( 0g ` K ) = ( 0g ` K ) |
66 |
|
eqid |
|- ( *r ` ( Scalar ` K ) ) = ( *r ` ( Scalar ` K ) ) |
67 |
|
eqid |
|- ( 0g ` ( Scalar ` K ) ) = ( 0g ` ( Scalar ` K ) ) |
68 |
62 63 64 65 66 67
|
isphl |
|- ( K e. PreHil <-> ( K e. LVec /\ ( Scalar ` K ) e. *Ring /\ A. a e. ( Base ` K ) ( ( b e. ( Base ` K ) |-> ( b ( .i ` K ) a ) ) e. ( K LMHom ( ringLMod ` ( Scalar ` K ) ) ) /\ ( ( a ( .i ` K ) a ) = ( 0g ` ( Scalar ` K ) ) -> a = ( 0g ` K ) ) /\ A. b e. ( Base ` K ) ( ( *r ` ( Scalar ` K ) ) ` ( a ( .i ` K ) b ) ) = ( b ( .i ` K ) a ) ) ) ) |
69 |
|
eqid |
|- ( Base ` L ) = ( Base ` L ) |
70 |
|
eqid |
|- ( Scalar ` L ) = ( Scalar ` L ) |
71 |
|
eqid |
|- ( .i ` L ) = ( .i ` L ) |
72 |
|
eqid |
|- ( 0g ` L ) = ( 0g ` L ) |
73 |
|
eqid |
|- ( *r ` ( Scalar ` L ) ) = ( *r ` ( Scalar ` L ) ) |
74 |
|
eqid |
|- ( 0g ` ( Scalar ` L ) ) = ( 0g ` ( Scalar ` L ) ) |
75 |
69 70 71 72 73 74
|
isphl |
|- ( L e. PreHil <-> ( L e. LVec /\ ( Scalar ` L ) e. *Ring /\ A. a e. ( Base ` L ) ( ( b e. ( Base ` L ) |-> ( b ( .i ` L ) a ) ) e. ( L LMHom ( ringLMod ` ( Scalar ` L ) ) ) /\ ( ( a ( .i ` L ) a ) = ( 0g ` ( Scalar ` L ) ) -> a = ( 0g ` L ) ) /\ A. b e. ( Base ` L ) ( ( *r ` ( Scalar ` L ) ) ` ( a ( .i ` L ) b ) ) = ( b ( .i ` L ) a ) ) ) ) |
76 |
61 68 75
|
3bitr4g |
|- ( ph -> ( K e. PreHil <-> L e. PreHil ) ) |