Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
pwsdiagmhm.y |
|- Y = ( R ^s I ) |
2 |
|
pwsdiagmhm.b |
|- B = ( Base ` R ) |
3 |
|
pwsdiagmhm.f |
|- F = ( x e. B |-> ( I X. { x } ) ) |
4 |
|
simpl |
|- ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) -> R e. Mnd ) |
5 |
1
|
pwsmnd |
|- ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) -> Y e. Mnd ) |
6 |
2
|
fvexi |
|- B e. _V |
7 |
3
|
fdiagfn |
|- ( ( B e. _V /\ I e. W ) -> F : B --> ( B ^m I ) ) |
8 |
6 7
|
mpan |
|- ( I e. W -> F : B --> ( B ^m I ) ) |
9 |
8
|
adantl |
|- ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) -> F : B --> ( B ^m I ) ) |
10 |
1 2
|
pwsbas |
|- ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) -> ( B ^m I ) = ( Base ` Y ) ) |
11 |
10
|
feq3d |
|- ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) -> ( F : B --> ( B ^m I ) <-> F : B --> ( Base ` Y ) ) ) |
12 |
9 11
|
mpbid |
|- ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) -> F : B --> ( Base ` Y ) ) |
13 |
|
simplr |
|- ( ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> I e. W ) |
14 |
|
eqid |
|- ( +g ` R ) = ( +g ` R ) |
15 |
2 14
|
mndcl |
|- ( ( R e. Mnd /\ a e. B /\ b e. B ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B ) |
16 |
15
|
3expb |
|- ( ( R e. Mnd /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B ) |
17 |
16
|
adantlr |
|- ( ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B ) |
18 |
3
|
fvdiagfn |
|- ( ( I e. W /\ ( a ( +g ` R ) b ) e. B ) -> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( I X. { ( a ( +g ` R ) b ) } ) ) |
19 |
13 17 18
|
syl2anc |
|- ( ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( I X. { ( a ( +g ` R ) b ) } ) ) |
20 |
3
|
fvdiagfn |
|- ( ( I e. W /\ a e. B ) -> ( F ` a ) = ( I X. { a } ) ) |
21 |
3
|
fvdiagfn |
|- ( ( I e. W /\ b e. B ) -> ( F ` b ) = ( I X. { b } ) ) |
22 |
20 21
|
oveqan12d |
|- ( ( ( I e. W /\ a e. B ) /\ ( I e. W /\ b e. B ) ) -> ( ( F ` a ) ( +g ` Y ) ( F ` b ) ) = ( ( I X. { a } ) ( +g ` Y ) ( I X. { b } ) ) ) |
23 |
22
|
anandis |
|- ( ( I e. W /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( F ` a ) ( +g ` Y ) ( F ` b ) ) = ( ( I X. { a } ) ( +g ` Y ) ( I X. { b } ) ) ) |
24 |
23
|
adantll |
|- ( ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( F ` a ) ( +g ` Y ) ( F ` b ) ) = ( ( I X. { a } ) ( +g ` Y ) ( I X. { b } ) ) ) |
25 |
|
eqid |
|- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y ) |
26 |
|
simpll |
|- ( ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> R e. Mnd ) |
27 |
1 2 25
|
pwsdiagel |
|- ( ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) /\ a e. B ) -> ( I X. { a } ) e. ( Base ` Y ) ) |
28 |
27
|
adantrr |
|- ( ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( I X. { a } ) e. ( Base ` Y ) ) |
29 |
1 2 25
|
pwsdiagel |
|- ( ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) /\ b e. B ) -> ( I X. { b } ) e. ( Base ` Y ) ) |
30 |
29
|
adantrl |
|- ( ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( I X. { b } ) e. ( Base ` Y ) ) |
31 |
|
eqid |
|- ( +g ` Y ) = ( +g ` Y ) |
32 |
1 25 26 13 28 30 14 31
|
pwsplusgval |
|- ( ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( I X. { a } ) ( +g ` Y ) ( I X. { b } ) ) = ( ( I X. { a } ) oF ( +g ` R ) ( I X. { b } ) ) ) |
33 |
|
id |
|- ( I e. W -> I e. W ) |
34 |
|
vex |
|- a e. _V |
35 |
34
|
a1i |
|- ( I e. W -> a e. _V ) |
36 |
|
vex |
|- b e. _V |
37 |
36
|
a1i |
|- ( I e. W -> b e. _V ) |
38 |
33 35 37
|
ofc12 |
|- ( I e. W -> ( ( I X. { a } ) oF ( +g ` R ) ( I X. { b } ) ) = ( I X. { ( a ( +g ` R ) b ) } ) ) |
39 |
38
|
ad2antlr |
|- ( ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( I X. { a } ) oF ( +g ` R ) ( I X. { b } ) ) = ( I X. { ( a ( +g ` R ) b ) } ) ) |
40 |
24 32 39
|
3eqtrd |
|- ( ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( F ` a ) ( +g ` Y ) ( F ` b ) ) = ( I X. { ( a ( +g ` R ) b ) } ) ) |
41 |
19 40
|
eqtr4d |
|- ( ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( F ` a ) ( +g ` Y ) ( F ` b ) ) ) |
42 |
41
|
ralrimivva |
|- ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) -> A. a e. B A. b e. B ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( F ` a ) ( +g ` Y ) ( F ` b ) ) ) |
43 |
|
simpr |
|- ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) -> I e. W ) |
44 |
|
eqid |
|- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R ) |
45 |
2 44
|
mndidcl |
|- ( R e. Mnd -> ( 0g ` R ) e. B ) |
46 |
45
|
adantr |
|- ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) -> ( 0g ` R ) e. B ) |
47 |
3
|
fvdiagfn |
|- ( ( I e. W /\ ( 0g ` R ) e. B ) -> ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( I X. { ( 0g ` R ) } ) ) |
48 |
43 46 47
|
syl2anc |
|- ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) -> ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( I X. { ( 0g ` R ) } ) ) |
49 |
1 44
|
pws0g |
|- ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) -> ( I X. { ( 0g ` R ) } ) = ( 0g ` Y ) ) |
50 |
48 49
|
eqtrd |
|- ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) -> ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` Y ) ) |
51 |
12 42 50
|
3jca |
|- ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) -> ( F : B --> ( Base ` Y ) /\ A. a e. B A. b e. B ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( F ` a ) ( +g ` Y ) ( F ` b ) ) /\ ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` Y ) ) ) |
52 |
|
eqid |
|- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y ) |
53 |
2 25 14 31 44 52
|
ismhm |
|- ( F e. ( R MndHom Y ) <-> ( ( R e. Mnd /\ Y e. Mnd ) /\ ( F : B --> ( Base ` Y ) /\ A. a e. B A. b e. B ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( F ` a ) ( +g ` Y ) ( F ` b ) ) /\ ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` Y ) ) ) ) |
54 |
4 5 51 53
|
syl21anbrc |
|- ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) -> F e. ( R MndHom Y ) ) |