Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ringlghm.b |
|- B = ( Base ` R ) |
2 |
|
ringlghm.t |
|- .x. = ( .r ` R ) |
3 |
|
eqid |
|- ( +g ` R ) = ( +g ` R ) |
4 |
|
ringgrp |
|- ( R e. Ring -> R e. Grp ) |
5 |
4
|
adantr |
|- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> R e. Grp ) |
6 |
1 2
|
ringcl |
|- ( ( R e. Ring /\ x e. B /\ X e. B ) -> ( x .x. X ) e. B ) |
7 |
6
|
3expa |
|- ( ( ( R e. Ring /\ x e. B ) /\ X e. B ) -> ( x .x. X ) e. B ) |
8 |
7
|
an32s |
|- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ x e. B ) -> ( x .x. X ) e. B ) |
9 |
8
|
fmpttd |
|- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) : B --> B ) |
10 |
|
df-3an |
|- ( ( y e. B /\ z e. B /\ X e. B ) <-> ( ( y e. B /\ z e. B ) /\ X e. B ) ) |
11 |
1 3 2
|
ringdir |
|- ( ( R e. Ring /\ ( y e. B /\ z e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( y ( +g ` R ) z ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) ( z .x. X ) ) ) |
12 |
10 11
|
sylan2br |
|- ( ( R e. Ring /\ ( ( y e. B /\ z e. B ) /\ X e. B ) ) -> ( ( y ( +g ` R ) z ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) ( z .x. X ) ) ) |
13 |
12
|
anass1rs |
|- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( y ( +g ` R ) z ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) ( z .x. X ) ) ) |
14 |
1 3
|
ringacl |
|- ( ( R e. Ring /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( y ( +g ` R ) z ) e. B ) |
15 |
14
|
3expb |
|- ( ( R e. Ring /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( y ( +g ` R ) z ) e. B ) |
16 |
15
|
adantlr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( y ( +g ` R ) z ) e. B ) |
17 |
|
oveq1 |
|- ( x = ( y ( +g ` R ) z ) -> ( x .x. X ) = ( ( y ( +g ` R ) z ) .x. X ) ) |
18 |
|
eqid |
|- ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) = ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) |
19 |
|
ovex |
|- ( ( y ( +g ` R ) z ) .x. X ) e. _V |
20 |
17 18 19
|
fvmpt |
|- ( ( y ( +g ` R ) z ) e. B -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( y ( +g ` R ) z ) .x. X ) ) |
21 |
16 20
|
syl |
|- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( y ( +g ` R ) z ) .x. X ) ) |
22 |
|
oveq1 |
|- ( x = y -> ( x .x. X ) = ( y .x. X ) ) |
23 |
|
ovex |
|- ( y .x. X ) e. _V |
24 |
22 18 23
|
fvmpt |
|- ( y e. B -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` y ) = ( y .x. X ) ) |
25 |
|
oveq1 |
|- ( x = z -> ( x .x. X ) = ( z .x. X ) ) |
26 |
|
ovex |
|- ( z .x. X ) e. _V |
27 |
25 18 26
|
fvmpt |
|- ( z e. B -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` z ) = ( z .x. X ) ) |
28 |
24 27
|
oveqan12d |
|- ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` y ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` z ) ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) ( z .x. X ) ) ) |
29 |
28
|
adantl |
|- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` y ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` z ) ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) ( z .x. X ) ) ) |
30 |
13 21 29
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` y ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` z ) ) ) |
31 |
1 1 3 3 5 5 9 30
|
isghmd |
|- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) e. ( R GrpHom R ) ) |