Theorem ringrghm

Description: Right-multiplication in a ring by a fixed element of the ring is a group homomorphism. (It is not usually a ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015)

	Ref	Expression
Hypotheses	ringlghm.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
	ringlghm.t	⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
Assertion	ringrghm	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ∈ ( 𝑅 GrpHom 𝑅 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringlghm.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
2		ringlghm.t	⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
3		eqid	⊢ ( +g ‘ 𝑅 ) = ( +g ‘ 𝑅 )
4		ringgrp	⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp )
5	4	adantr	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → 𝑅 ∈ Grp )
6	1 2	ringcl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
7	6	3expa	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
8	7	an32s	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
9	8	fmpttd	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) : 𝐵 ⟶ 𝐵 )
10		df-3an	⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ↔ ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) )
11	1 3 2	ringdir	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑦 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 · 𝑋 ) ) )
12	10 11	sylan2br	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑦 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 · 𝑋 ) ) )
13	12	anass1rs	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑦 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 · 𝑋 ) ) )
14	1 3	ringacl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ∈ 𝐵 )
15	14	3expb	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ∈ 𝐵 )
16	15	adantlr	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ∈ 𝐵 )
17		oveq1	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) → ( 𝑥 · 𝑋 ) = ( ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) · 𝑋 ) )
18		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) )
19		ovex	⊢ ( ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) · 𝑋 ) ∈ V
20	17 18 19	fvmpt	⊢ ( ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ∈ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) = ( ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) · 𝑋 ) )
21	16 20	syl	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) = ( ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) · 𝑋 ) )
22		oveq1	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑥 · 𝑋 ) = ( 𝑦 · 𝑋 ) )
23		ovex	⊢ ( 𝑦 · 𝑋 ) ∈ V
24	22 18 23	fvmpt	⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ 𝑦 ) = ( 𝑦 · 𝑋 ) )
25		oveq1	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑥 · 𝑋 ) = ( 𝑧 · 𝑋 ) )
26		ovex	⊢ ( 𝑧 · 𝑋 ) ∈ V
27	25 18 26	fvmpt	⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝑧 · 𝑋 ) )
28	24 27	oveqan12d	⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( ( 𝑦 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 · 𝑋 ) ) )
29	28	adantl	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( ( 𝑦 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 · 𝑋 ) ) )
30	13 21 29	3eqtr4d	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ‘ 𝑧 ) ) )
31	1 1 3 3 5 5 9 30	isghmd	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑥 · 𝑋 ) ) ∈ ( 𝑅 GrpHom 𝑅 ) )