Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
symgext.s |
|- S = ( Base ` ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) ) |
2 |
|
symgext.e |
|- E = ( x e. N |-> if ( x = K , K , ( Z ` x ) ) ) |
3 |
1 2
|
symgextf |
|- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> E : N --> N ) |
4 |
|
difsnid |
|- ( K e. N -> ( ( N \ { K } ) u. { K } ) = N ) |
5 |
4
|
eqcomd |
|- ( K e. N -> N = ( ( N \ { K } ) u. { K } ) ) |
6 |
5
|
eleq2d |
|- ( K e. N -> ( y e. N <-> y e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) ) ) |
7 |
5
|
eleq2d |
|- ( K e. N -> ( z e. N <-> z e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) ) ) |
8 |
6 7
|
anbi12d |
|- ( K e. N -> ( ( y e. N /\ z e. N ) <-> ( y e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) /\ z e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) ) ) ) |
9 |
8
|
adantr |
|- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( ( y e. N /\ z e. N ) <-> ( y e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) /\ z e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) ) ) ) |
10 |
|
elun |
|- ( y e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) <-> ( y e. ( N \ { K } ) \/ y e. { K } ) ) |
11 |
|
elun |
|- ( z e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) <-> ( z e. ( N \ { K } ) \/ z e. { K } ) ) |
12 |
1 2
|
symgextfv |
|- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( y e. ( N \ { K } ) -> ( E ` y ) = ( Z ` y ) ) ) |
13 |
12
|
com12 |
|- ( y e. ( N \ { K } ) -> ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( E ` y ) = ( Z ` y ) ) ) |
14 |
13
|
adantr |
|- ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. ( N \ { K } ) ) -> ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( E ` y ) = ( Z ` y ) ) ) |
15 |
14
|
imp |
|- ( ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. ( N \ { K } ) ) /\ ( K e. N /\ Z e. S ) ) -> ( E ` y ) = ( Z ` y ) ) |
16 |
1 2
|
symgextfv |
|- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( z e. ( N \ { K } ) -> ( E ` z ) = ( Z ` z ) ) ) |
17 |
16
|
com12 |
|- ( z e. ( N \ { K } ) -> ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( E ` z ) = ( Z ` z ) ) ) |
18 |
17
|
adantl |
|- ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. ( N \ { K } ) ) -> ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( E ` z ) = ( Z ` z ) ) ) |
19 |
18
|
imp |
|- ( ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. ( N \ { K } ) ) /\ ( K e. N /\ Z e. S ) ) -> ( E ` z ) = ( Z ` z ) ) |
20 |
15 19
|
eqeq12d |
|- ( ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. ( N \ { K } ) ) /\ ( K e. N /\ Z e. S ) ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` z ) <-> ( Z ` y ) = ( Z ` z ) ) ) |
21 |
|
eqid |
|- ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) = ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) |
22 |
21 1
|
symgbasf1o |
|- ( Z e. S -> Z : ( N \ { K } ) -1-1-onto-> ( N \ { K } ) ) |
23 |
|
f1of1 |
|- ( Z : ( N \ { K } ) -1-1-onto-> ( N \ { K } ) -> Z : ( N \ { K } ) -1-1-> ( N \ { K } ) ) |
24 |
|
dff13 |
|- ( Z : ( N \ { K } ) -1-1-> ( N \ { K } ) <-> ( Z : ( N \ { K } ) --> ( N \ { K } ) /\ A. i e. ( N \ { K } ) A. j e. ( N \ { K } ) ( ( Z ` i ) = ( Z ` j ) -> i = j ) ) ) |
25 |
|
fveqeq2 |
|- ( i = y -> ( ( Z ` i ) = ( Z ` j ) <-> ( Z ` y ) = ( Z ` j ) ) ) |
26 |
|
equequ1 |
|- ( i = y -> ( i = j <-> y = j ) ) |
27 |
25 26
|
imbi12d |
|- ( i = y -> ( ( ( Z ` i ) = ( Z ` j ) -> i = j ) <-> ( ( Z ` y ) = ( Z ` j ) -> y = j ) ) ) |
28 |
|
fveq2 |
|- ( j = z -> ( Z ` j ) = ( Z ` z ) ) |
29 |
28
|
eqeq2d |
|- ( j = z -> ( ( Z ` y ) = ( Z ` j ) <-> ( Z ` y ) = ( Z ` z ) ) ) |
30 |
|
equequ2 |
|- ( j = z -> ( y = j <-> y = z ) ) |
31 |
29 30
|
imbi12d |
|- ( j = z -> ( ( ( Z ` y ) = ( Z ` j ) -> y = j ) <-> ( ( Z ` y ) = ( Z ` z ) -> y = z ) ) ) |
32 |
27 31
|
rspc2va |
|- ( ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. ( N \ { K } ) ) /\ A. i e. ( N \ { K } ) A. j e. ( N \ { K } ) ( ( Z ` i ) = ( Z ` j ) -> i = j ) ) -> ( ( Z ` y ) = ( Z ` z ) -> y = z ) ) |
33 |
32
|
expcom |
|- ( A. i e. ( N \ { K } ) A. j e. ( N \ { K } ) ( ( Z ` i ) = ( Z ` j ) -> i = j ) -> ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. ( N \ { K } ) ) -> ( ( Z ` y ) = ( Z ` z ) -> y = z ) ) ) |
34 |
33
|
a1d |
|- ( A. i e. ( N \ { K } ) A. j e. ( N \ { K } ) ( ( Z ` i ) = ( Z ` j ) -> i = j ) -> ( K e. N -> ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. ( N \ { K } ) ) -> ( ( Z ` y ) = ( Z ` z ) -> y = z ) ) ) ) |
35 |
24 34
|
simplbiim |
|- ( Z : ( N \ { K } ) -1-1-> ( N \ { K } ) -> ( K e. N -> ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. ( N \ { K } ) ) -> ( ( Z ` y ) = ( Z ` z ) -> y = z ) ) ) ) |
36 |
22 23 35
|
3syl |
|- ( Z e. S -> ( K e. N -> ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. ( N \ { K } ) ) -> ( ( Z ` y ) = ( Z ` z ) -> y = z ) ) ) ) |
37 |
36
|
impcom |
|- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. ( N \ { K } ) ) -> ( ( Z ` y ) = ( Z ` z ) -> y = z ) ) ) |
38 |
37
|
impcom |
|- ( ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. ( N \ { K } ) ) /\ ( K e. N /\ Z e. S ) ) -> ( ( Z ` y ) = ( Z ` z ) -> y = z ) ) |
39 |
20 38
|
sylbid |
|- ( ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. ( N \ { K } ) ) /\ ( K e. N /\ Z e. S ) ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> y = z ) ) |
40 |
39
|
ex |
|- ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. ( N \ { K } ) ) -> ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> y = z ) ) ) |
41 |
1 2
|
symgextf1lem |
|- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( ( z e. ( N \ { K } ) /\ y e. { K } ) -> ( E ` z ) =/= ( E ` y ) ) ) |
42 |
|
eqneqall |
|- ( ( E ` z ) = ( E ` y ) -> ( ( E ` z ) =/= ( E ` y ) -> y = z ) ) |
43 |
42
|
eqcoms |
|- ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> ( ( E ` z ) =/= ( E ` y ) -> y = z ) ) |
44 |
43
|
com12 |
|- ( ( E ` z ) =/= ( E ` y ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> y = z ) ) |
45 |
41 44
|
syl6com |
|- ( ( z e. ( N \ { K } ) /\ y e. { K } ) -> ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> y = z ) ) ) |
46 |
45
|
ancoms |
|- ( ( y e. { K } /\ z e. ( N \ { K } ) ) -> ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> y = z ) ) ) |
47 |
1 2
|
symgextf1lem |
|- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. { K } ) -> ( E ` y ) =/= ( E ` z ) ) ) |
48 |
|
eqneqall |
|- ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> ( ( E ` y ) =/= ( E ` z ) -> y = z ) ) |
49 |
48
|
com12 |
|- ( ( E ` y ) =/= ( E ` z ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> y = z ) ) |
50 |
47 49
|
syl6com |
|- ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. { K } ) -> ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> y = z ) ) ) |
51 |
|
elsni |
|- ( y e. { K } -> y = K ) |
52 |
|
elsni |
|- ( z e. { K } -> z = K ) |
53 |
|
eqtr3 |
|- ( ( y = K /\ z = K ) -> y = z ) |
54 |
53
|
2a1d |
|- ( ( y = K /\ z = K ) -> ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> y = z ) ) ) |
55 |
51 52 54
|
syl2an |
|- ( ( y e. { K } /\ z e. { K } ) -> ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> y = z ) ) ) |
56 |
40 46 50 55
|
ccase |
|- ( ( ( y e. ( N \ { K } ) \/ y e. { K } ) /\ ( z e. ( N \ { K } ) \/ z e. { K } ) ) -> ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> y = z ) ) ) |
57 |
10 11 56
|
syl2anb |
|- ( ( y e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) /\ z e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) ) -> ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> y = z ) ) ) |
58 |
57
|
com12 |
|- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( ( y e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) /\ z e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> y = z ) ) ) |
59 |
9 58
|
sylbid |
|- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( ( y e. N /\ z e. N ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> y = z ) ) ) |
60 |
59
|
ralrimivv |
|- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> A. y e. N A. z e. N ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> y = z ) ) |
61 |
|
dff13 |
|- ( E : N -1-1-> N <-> ( E : N --> N /\ A. y e. N A. z e. N ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> y = z ) ) ) |
62 |
3 60 61
|
sylanbrc |
|- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> E : N -1-1-> N ) |