Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
tfrlem1.1 |
|- ( ph -> A e. On ) |
2 |
|
tfrlem1.2 |
|- ( ph -> ( Fun F /\ A C_ dom F ) ) |
3 |
|
tfrlem1.3 |
|- ( ph -> ( Fun G /\ A C_ dom G ) ) |
4 |
|
tfrlem1.4 |
|- ( ph -> A. x e. A ( F ` x ) = ( B ` ( F |` x ) ) ) |
5 |
|
tfrlem1.5 |
|- ( ph -> A. x e. A ( G ` x ) = ( B ` ( G |` x ) ) ) |
6 |
|
ssid |
|- A C_ A |
7 |
|
sseq1 |
|- ( y = z -> ( y C_ A <-> z C_ A ) ) |
8 |
|
raleq |
|- ( y = z -> ( A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) |
9 |
7 8
|
imbi12d |
|- ( y = z -> ( ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) <-> ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) |
10 |
9
|
imbi2d |
|- ( y = z -> ( ( ph -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) ) |
11 |
|
sseq1 |
|- ( y = A -> ( y C_ A <-> A C_ A ) ) |
12 |
|
raleq |
|- ( y = A -> ( A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) |
13 |
11 12
|
imbi12d |
|- ( y = A -> ( ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) <-> ( A C_ A -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) |
14 |
13
|
imbi2d |
|- ( y = A -> ( ( ph -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( A C_ A -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) ) |
15 |
|
r19.21v |
|- ( A. z e. y ( ph -> ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) <-> ( ph -> A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) |
16 |
2
|
ad4antr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( Fun F /\ A C_ dom F ) ) |
17 |
16
|
simpld |
|- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> Fun F ) |
18 |
17
|
funfnd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> F Fn dom F ) |
19 |
|
eloni |
|- ( y e. On -> Ord y ) |
20 |
19
|
ad3antlr |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) -> Ord y ) |
21 |
|
ordelss |
|- ( ( Ord y /\ w e. y ) -> w C_ y ) |
22 |
20 21
|
sylan |
|- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> w C_ y ) |
23 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> y C_ A ) |
24 |
22 23
|
sstrd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> w C_ A ) |
25 |
16
|
simprd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> A C_ dom F ) |
26 |
24 25
|
sstrd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> w C_ dom F ) |
27 |
|
fnssres |
|- ( ( F Fn dom F /\ w C_ dom F ) -> ( F |` w ) Fn w ) |
28 |
18 26 27
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( F |` w ) Fn w ) |
29 |
3
|
ad4antr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( Fun G /\ A C_ dom G ) ) |
30 |
29
|
simpld |
|- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> Fun G ) |
31 |
30
|
funfnd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> G Fn dom G ) |
32 |
29
|
simprd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> A C_ dom G ) |
33 |
24 32
|
sstrd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> w C_ dom G ) |
34 |
|
fnssres |
|- ( ( G Fn dom G /\ w C_ dom G ) -> ( G |` w ) Fn w ) |
35 |
31 33 34
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( G |` w ) Fn w ) |
36 |
|
fveq2 |
|- ( x = u -> ( F ` x ) = ( F ` u ) ) |
37 |
|
fveq2 |
|- ( x = u -> ( G ` x ) = ( G ` u ) ) |
38 |
36 37
|
eqeq12d |
|- ( x = u -> ( ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> ( F ` u ) = ( G ` u ) ) ) |
39 |
24
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> w C_ A ) |
40 |
|
sseq1 |
|- ( z = w -> ( z C_ A <-> w C_ A ) ) |
41 |
|
raleq |
|- ( z = w -> ( A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> A. x e. w ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) |
42 |
40 41
|
imbi12d |
|- ( z = w -> ( ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) <-> ( w C_ A -> A. x e. w ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) |
43 |
|
simp-4r |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) |
44 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> w e. y ) |
45 |
42 43 44
|
rspcdva |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> ( w C_ A -> A. x e. w ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) |
46 |
39 45
|
mpd |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> A. x e. w ( F ` x ) = ( G ` x ) ) |
47 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> u e. w ) |
48 |
38 46 47
|
rspcdva |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> ( F ` u ) = ( G ` u ) ) |
49 |
|
fvres |
|- ( u e. w -> ( ( F |` w ) ` u ) = ( F ` u ) ) |
50 |
49
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> ( ( F |` w ) ` u ) = ( F ` u ) ) |
51 |
|
fvres |
|- ( u e. w -> ( ( G |` w ) ` u ) = ( G ` u ) ) |
52 |
51
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> ( ( G |` w ) ` u ) = ( G ` u ) ) |
53 |
48 50 52
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> ( ( F |` w ) ` u ) = ( ( G |` w ) ` u ) ) |
54 |
28 35 53
|
eqfnfvd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( F |` w ) = ( G |` w ) ) |
55 |
54
|
fveq2d |
|- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( B ` ( F |` w ) ) = ( B ` ( G |` w ) ) ) |
56 |
|
fveq2 |
|- ( x = w -> ( F ` x ) = ( F ` w ) ) |
57 |
|
reseq2 |
|- ( x = w -> ( F |` x ) = ( F |` w ) ) |
58 |
57
|
fveq2d |
|- ( x = w -> ( B ` ( F |` x ) ) = ( B ` ( F |` w ) ) ) |
59 |
56 58
|
eqeq12d |
|- ( x = w -> ( ( F ` x ) = ( B ` ( F |` x ) ) <-> ( F ` w ) = ( B ` ( F |` w ) ) ) ) |
60 |
4
|
ad4antr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> A. x e. A ( F ` x ) = ( B ` ( F |` x ) ) ) |
61 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) -> y C_ A ) |
62 |
61
|
sselda |
|- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> w e. A ) |
63 |
59 60 62
|
rspcdva |
|- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( F ` w ) = ( B ` ( F |` w ) ) ) |
64 |
|
fveq2 |
|- ( x = w -> ( G ` x ) = ( G ` w ) ) |
65 |
|
reseq2 |
|- ( x = w -> ( G |` x ) = ( G |` w ) ) |
66 |
65
|
fveq2d |
|- ( x = w -> ( B ` ( G |` x ) ) = ( B ` ( G |` w ) ) ) |
67 |
64 66
|
eqeq12d |
|- ( x = w -> ( ( G ` x ) = ( B ` ( G |` x ) ) <-> ( G ` w ) = ( B ` ( G |` w ) ) ) ) |
68 |
5
|
ad4antr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> A. x e. A ( G ` x ) = ( B ` ( G |` x ) ) ) |
69 |
67 68 62
|
rspcdva |
|- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( G ` w ) = ( B ` ( G |` w ) ) ) |
70 |
55 63 69
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) |
71 |
70
|
ralrimiva |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) -> A. w e. y ( F ` w ) = ( G ` w ) ) |
72 |
56 64
|
eqeq12d |
|- ( x = w -> ( ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) |
73 |
72
|
cbvralvw |
|- ( A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> A. w e. y ( F ` w ) = ( G ` w ) ) |
74 |
71 73
|
sylibr |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) |
75 |
74
|
exp31 |
|- ( ( ph /\ y e. On ) -> ( A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) |
76 |
75
|
expcom |
|- ( y e. On -> ( ph -> ( A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) ) |
77 |
76
|
a2d |
|- ( y e. On -> ( ( ph -> A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) -> ( ph -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) ) |
78 |
15 77
|
syl5bi |
|- ( y e. On -> ( A. z e. y ( ph -> ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) -> ( ph -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) ) |
79 |
10 14 78
|
tfis3 |
|- ( A e. On -> ( ph -> ( A C_ A -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) |
80 |
1 79
|
mpcom |
|- ( ph -> ( A C_ A -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) |
81 |
6 80
|
mpi |
|- ( ph -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) |