Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eqid |
|- ( Vtx ` G ) = ( Vtx ` G ) |
2 |
1
|
wwlkbp |
|- ( P e. ( WWalks ` G ) -> ( G e. _V /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) ) |
3 |
|
eqid |
|- ( Edg ` G ) = ( Edg ` G ) |
4 |
1 3
|
iswwlks |
|- ( P e. ( WWalks ` G ) <-> ( P =/= (/) /\ P e. Word ( Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) ) ) |
5 |
|
ovex |
|- ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) e. _V |
6 |
|
mptexg |
|- ( ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) e. _V -> ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) e. _V ) |
7 |
5 6
|
mp1i |
|- ( ( ( P =/= (/) /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ ( ( G e. _V /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ G e. USPGraph ) ) -> ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) e. _V ) |
8 |
|
simprr |
|- ( ( ( P =/= (/) /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ ( ( G e. _V /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ G e. USPGraph ) ) -> G e. USPGraph ) |
9 |
|
simplr |
|- ( ( ( P =/= (/) /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ ( ( G e. _V /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ G e. USPGraph ) ) -> P e. Word ( Vtx ` G ) ) |
10 |
|
hashge1 |
|- ( ( P e. Word ( Vtx ` G ) /\ P =/= (/) ) -> 1 <_ ( # ` P ) ) |
11 |
10
|
ancoms |
|- ( ( P =/= (/) /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) -> 1 <_ ( # ` P ) ) |
12 |
11
|
adantr |
|- ( ( ( P =/= (/) /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ ( ( G e. _V /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ G e. USPGraph ) ) -> 1 <_ ( # ` P ) ) |
13 |
8 9 12
|
3jca |
|- ( ( ( P =/= (/) /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ ( ( G e. _V /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ G e. USPGraph ) ) -> ( G e. USPGraph /\ P e. Word ( Vtx ` G ) /\ 1 <_ ( # ` P ) ) ) |
14 |
13
|
adantr |
|- ( ( ( ( P =/= (/) /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ ( ( G e. _V /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ G e. USPGraph ) ) /\ f = ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ) -> ( G e. USPGraph /\ P e. Word ( Vtx ` G ) /\ 1 <_ ( # ` P ) ) ) |
15 |
|
edgval |
|- ( Edg ` G ) = ran ( iEdg ` G ) |
16 |
15
|
a1i |
|- ( ( ( ( P =/= (/) /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ ( ( G e. _V /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ G e. USPGraph ) ) /\ f = ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ) -> ( Edg ` G ) = ran ( iEdg ` G ) ) |
17 |
16
|
eleq2d |
|- ( ( ( ( P =/= (/) /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ ( ( G e. _V /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ G e. USPGraph ) ) /\ f = ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ) -> ( { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) <-> { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran ( iEdg ` G ) ) ) |
18 |
17
|
ralbidv |
|- ( ( ( ( P =/= (/) /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ ( ( G e. _V /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ G e. USPGraph ) ) /\ f = ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) <-> A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran ( iEdg ` G ) ) ) |
19 |
18
|
biimpd |
|- ( ( ( ( P =/= (/) /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ ( ( G e. _V /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ G e. USPGraph ) ) /\ f = ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) -> A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran ( iEdg ` G ) ) ) |
20 |
|
eqid |
|- ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) = ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) |
21 |
|
eqid |
|- ( iEdg ` G ) = ( iEdg ` G ) |
22 |
20 21
|
wlkiswwlks2lem6 |
|- ( ( G e. USPGraph /\ P e. Word ( Vtx ` G ) /\ 1 <_ ( # ` P ) ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran ( iEdg ` G ) -> ( ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) e. Word dom ( iEdg ` G ) /\ P : ( 0 ... ( # ` ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ) ) --> ( Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( # ` ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ) ) ( ( iEdg ` G ) ` ( ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) ) |
23 |
14 19 22
|
sylsyld |
|- ( ( ( ( P =/= (/) /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ ( ( G e. _V /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ G e. USPGraph ) ) /\ f = ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) -> ( ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) e. Word dom ( iEdg ` G ) /\ P : ( 0 ... ( # ` ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ) ) --> ( Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( # ` ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ) ) ( ( iEdg ` G ) ` ( ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) ) |
24 |
|
eleq1 |
|- ( f = ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) -> ( f e. Word dom ( iEdg ` G ) <-> ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) e. Word dom ( iEdg ` G ) ) ) |
25 |
|
fveq2 |
|- ( f = ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) -> ( # ` f ) = ( # ` ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ) ) |
26 |
25
|
oveq2d |
|- ( f = ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) -> ( 0 ... ( # ` f ) ) = ( 0 ... ( # ` ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ) ) ) |
27 |
26
|
feq2d |
|- ( f = ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) -> ( P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> ( Vtx ` G ) <-> P : ( 0 ... ( # ` ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ) ) --> ( Vtx ` G ) ) ) |
28 |
25
|
oveq2d |
|- ( f = ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) -> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) = ( 0 ..^ ( # ` ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ) ) ) |
29 |
|
fveq1 |
|- ( f = ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) -> ( f ` i ) = ( ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ` i ) ) |
30 |
29
|
fveqeq2d |
|- ( f = ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) -> ( ( ( iEdg ` G ) ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> ( ( iEdg ` G ) ` ( ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) |
31 |
28 30
|
raleqbidv |
|- ( f = ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ( ( iEdg ` G ) ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> A. i e. ( 0 ..^ ( # ` ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ) ) ( ( iEdg ` G ) ` ( ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) |
32 |
24 27 31
|
3anbi123d |
|- ( f = ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) -> ( ( f e. Word dom ( iEdg ` G ) /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> ( Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ( ( iEdg ` G ) ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) <-> ( ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) e. Word dom ( iEdg ` G ) /\ P : ( 0 ... ( # ` ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ) ) --> ( Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( # ` ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ) ) ( ( iEdg ` G ) ` ( ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) ) |
33 |
32
|
imbi2d |
|- ( f = ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) -> ( ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) -> ( f e. Word dom ( iEdg ` G ) /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> ( Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ( ( iEdg ` G ) ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) <-> ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) -> ( ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) e. Word dom ( iEdg ` G ) /\ P : ( 0 ... ( # ` ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ) ) --> ( Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( # ` ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ) ) ( ( iEdg ` G ) ` ( ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) ) ) |
34 |
33
|
adantl |
|- ( ( ( ( P =/= (/) /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ ( ( G e. _V /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ G e. USPGraph ) ) /\ f = ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ) -> ( ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) -> ( f e. Word dom ( iEdg ` G ) /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> ( Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ( ( iEdg ` G ) ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) <-> ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) -> ( ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) e. Word dom ( iEdg ` G ) /\ P : ( 0 ... ( # ` ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ) ) --> ( Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( # ` ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ) ) ( ( iEdg ` G ) ` ( ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) ) ) |
35 |
23 34
|
mpbird |
|- ( ( ( ( P =/= (/) /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ ( ( G e. _V /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ G e. USPGraph ) ) /\ f = ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> ( `' ( iEdg ` G ) ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) -> ( f e. Word dom ( iEdg ` G ) /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> ( Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ( ( iEdg ` G ) ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) ) |
36 |
7 35
|
spcimedv |
|- ( ( ( P =/= (/) /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ ( ( G e. _V /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ G e. USPGraph ) ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) -> E. f ( f e. Word dom ( iEdg ` G ) /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> ( Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ( ( iEdg ` G ) ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) ) |
37 |
36
|
ex |
|- ( ( P =/= (/) /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) -> ( ( ( G e. _V /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ G e. USPGraph ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) -> E. f ( f e. Word dom ( iEdg ` G ) /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> ( Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ( ( iEdg ` G ) ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) ) ) |
38 |
37
|
com23 |
|- ( ( P =/= (/) /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) -> ( ( ( G e. _V /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ G e. USPGraph ) -> E. f ( f e. Word dom ( iEdg ` G ) /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> ( Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ( ( iEdg ` G ) ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) ) ) |
39 |
38
|
3impia |
|- ( ( P =/= (/) /\ P e. Word ( Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) ) -> ( ( ( G e. _V /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ G e. USPGraph ) -> E. f ( f e. Word dom ( iEdg ` G ) /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> ( Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ( ( iEdg ` G ) ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) ) |
40 |
39
|
expd |
|- ( ( P =/= (/) /\ P e. Word ( Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) ) -> ( ( G e. _V /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) -> ( G e. USPGraph -> E. f ( f e. Word dom ( iEdg ` G ) /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> ( Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ( ( iEdg ` G ) ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) ) ) |
41 |
40
|
impcom |
|- ( ( ( G e. _V /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ ( P =/= (/) /\ P e. Word ( Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) ) ) -> ( G e. USPGraph -> E. f ( f e. Word dom ( iEdg ` G ) /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> ( Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ( ( iEdg ` G ) ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) ) |
42 |
41
|
imp |
|- ( ( ( ( G e. _V /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ ( P =/= (/) /\ P e. Word ( Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) ) ) /\ G e. USPGraph ) -> E. f ( f e. Word dom ( iEdg ` G ) /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> ( Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ( ( iEdg ` G ) ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) |
43 |
|
uspgrupgr |
|- ( G e. USPGraph -> G e. UPGraph ) |
44 |
1 21
|
upgriswlk |
|- ( G e. UPGraph -> ( f ( Walks ` G ) P <-> ( f e. Word dom ( iEdg ` G ) /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> ( Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ( ( iEdg ` G ) ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) ) |
45 |
43 44
|
syl |
|- ( G e. USPGraph -> ( f ( Walks ` G ) P <-> ( f e. Word dom ( iEdg ` G ) /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> ( Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ( ( iEdg ` G ) ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) ) |
46 |
45
|
adantl |
|- ( ( ( ( G e. _V /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ ( P =/= (/) /\ P e. Word ( Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) ) ) /\ G e. USPGraph ) -> ( f ( Walks ` G ) P <-> ( f e. Word dom ( iEdg ` G ) /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> ( Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ( ( iEdg ` G ) ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) ) |
47 |
46
|
exbidv |
|- ( ( ( ( G e. _V /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ ( P =/= (/) /\ P e. Word ( Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) ) ) /\ G e. USPGraph ) -> ( E. f f ( Walks ` G ) P <-> E. f ( f e. Word dom ( iEdg ` G ) /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> ( Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ( ( iEdg ` G ) ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) ) |
48 |
42 47
|
mpbird |
|- ( ( ( ( G e. _V /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ ( P =/= (/) /\ P e. Word ( Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) ) ) /\ G e. USPGraph ) -> E. f f ( Walks ` G ) P ) |
49 |
48
|
ex |
|- ( ( ( G e. _V /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) /\ ( P =/= (/) /\ P e. Word ( Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) ) ) -> ( G e. USPGraph -> E. f f ( Walks ` G ) P ) ) |
50 |
49
|
ex |
|- ( ( G e. _V /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) -> ( ( P =/= (/) /\ P e. Word ( Vtx ` G ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) ) -> ( G e. USPGraph -> E. f f ( Walks ` G ) P ) ) ) |
51 |
4 50
|
syl5bi |
|- ( ( G e. _V /\ P e. Word ( Vtx ` G ) ) -> ( P e. ( WWalks ` G ) -> ( G e. USPGraph -> E. f f ( Walks ` G ) P ) ) ) |
52 |
2 51
|
mpcom |
|- ( P e. ( WWalks ` G ) -> ( G e. USPGraph -> E. f f ( Walks ` G ) P ) ) |
53 |
52
|
com12 |
|- ( G e. USPGraph -> ( P e. ( WWalks ` G ) -> E. f f ( Walks ` G ) P ) ) |