Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eqid |
⊢ ( Vtx ‘ 𝐺 ) = ( Vtx ‘ 𝐺 ) |
2 |
1
|
wwlkbp |
⊢ ( 𝑃 ∈ ( WWalks ‘ 𝐺 ) → ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ) |
3 |
|
eqid |
⊢ ( Edg ‘ 𝐺 ) = ( Edg ‘ 𝐺 ) |
4 |
1 3
|
iswwlks |
⊢ ( 𝑃 ∈ ( WWalks ‘ 𝐺 ) ↔ ( 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
5 |
|
ovex |
⊢ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ∈ V |
6 |
|
mptexg |
⊢ ( ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ∈ V → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ∈ V ) |
7 |
5 6
|
mp1i |
⊢ ( ( ( 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ∈ V ) |
8 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) ) → 𝐺 ∈ USPGraph ) |
9 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) ) → 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) |
10 |
|
hashge1 |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑃 ≠ ∅ ) → 1 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) |
11 |
10
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) → 1 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) |
12 |
11
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) ) → 1 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) |
13 |
8 9 12
|
3jca |
⊢ ( ( ( 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) ) → ( 𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 1 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ) |
14 |
13
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) ) ∧ 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ) → ( 𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 1 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ) |
15 |
|
edgval |
⊢ ( Edg ‘ 𝐺 ) = ran ( iEdg ‘ 𝐺 ) |
16 |
15
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) ) ∧ 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ) → ( Edg ‘ 𝐺 ) = ran ( iEdg ‘ 𝐺 ) ) |
17 |
16
|
eleq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) ) ∧ 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ) → ( { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran ( iEdg ‘ 𝐺 ) ) ) |
18 |
17
|
ralbidv |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) ) ∧ 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran ( iEdg ‘ 𝐺 ) ) ) |
19 |
18
|
biimpd |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) ) ∧ 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran ( iEdg ‘ 𝐺 ) ) ) |
20 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) |
21 |
|
eqid |
⊢ ( iEdg ‘ 𝐺 ) = ( iEdg ‘ 𝐺 ) |
22 |
20 21
|
wlkiswwlks2lem6 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 1 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran ( iEdg ‘ 𝐺 ) → ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ∈ Word dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑃 : ( 0 ... ( ♯ ‘ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ) ) ⟶ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ) ) ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) ) |
23 |
14 19 22
|
sylsyld |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) ) ∧ 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ∈ Word dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑃 : ( 0 ... ( ♯ ‘ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ) ) ⟶ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ) ) ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) ) |
24 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) → ( 𝑓 ∈ Word dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ∈ Word dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ) ) |
25 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) → ( ♯ ‘ 𝑓 ) = ( ♯ ‘ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ) ) |
26 |
25
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) → ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) = ( 0 ... ( ♯ ‘ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ) ) ) |
27 |
26
|
feq2d |
⊢ ( 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) → ( 𝑃 : ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ⟶ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ↔ 𝑃 : ( 0 ... ( ♯ ‘ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ) ) ⟶ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ) |
28 |
25
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) = ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ) ) ) |
29 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ‘ 𝑖 ) ) |
30 |
29
|
fveqeq2d |
⊢ ( 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) → ( ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ↔ ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) |
31 |
28 30
|
raleqbidv |
⊢ ( 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ) ) ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) |
32 |
24 27 31
|
3anbi123d |
⊢ ( 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) → ( ( 𝑓 ∈ Word dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑃 : ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ⟶ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ∈ Word dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑃 : ( 0 ... ( ♯ ‘ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ) ) ⟶ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ) ) ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) ) |
33 |
32
|
imbi2d |
⊢ ( 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ( 𝑓 ∈ Word dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑃 : ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ⟶ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ∈ Word dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑃 : ( 0 ... ( ♯ ‘ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ) ) ⟶ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ) ) ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) ) ) |
34 |
33
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) ) ∧ 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ( 𝑓 ∈ Word dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑃 : ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ⟶ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ∈ Word dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑃 : ( 0 ... ( ♯ ‘ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ) ) ⟶ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ) ) ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) ) ) |
35 |
23 34
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) ) ∧ 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ ( ◡ ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ( 𝑓 ∈ Word dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑃 : ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ⟶ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) ) |
36 |
7 35
|
spcimedv |
⊢ ( ( ( 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ∃ 𝑓 ( 𝑓 ∈ Word dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑃 : ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ⟶ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) ) |
37 |
36
|
ex |
⊢ ( ( 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) → ( ( ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ∃ 𝑓 ( 𝑓 ∈ Word dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑃 : ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ⟶ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) ) ) |
38 |
37
|
com23 |
⊢ ( ( 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ( ( ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) → ∃ 𝑓 ( 𝑓 ∈ Word dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑃 : ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ⟶ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) ) ) |
39 |
38
|
3impia |
⊢ ( ( 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) → ( ( ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) → ∃ 𝑓 ( 𝑓 ∈ Word dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑃 : ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ⟶ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) ) |
40 |
39
|
expd |
⊢ ( ( 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) → ( ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝐺 ∈ USPGraph → ∃ 𝑓 ( 𝑓 ∈ Word dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑃 : ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ⟶ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) ) ) |
41 |
40
|
impcom |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝐺 ∈ USPGraph → ∃ 𝑓 ( 𝑓 ∈ Word dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑃 : ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ⟶ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) ) |
42 |
41
|
imp |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) → ∃ 𝑓 ( 𝑓 ∈ Word dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑃 : ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ⟶ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) |
43 |
|
uspgrupgr |
⊢ ( 𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph ) |
44 |
1 21
|
upgriswlk |
⊢ ( 𝐺 ∈ UPGraph → ( 𝑓 ( Walks ‘ 𝐺 ) 𝑃 ↔ ( 𝑓 ∈ Word dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑃 : ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ⟶ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) ) |
45 |
43 44
|
syl |
⊢ ( 𝐺 ∈ USPGraph → ( 𝑓 ( Walks ‘ 𝐺 ) 𝑃 ↔ ( 𝑓 ∈ Word dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑃 : ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ⟶ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) ) |
46 |
45
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) → ( 𝑓 ( Walks ‘ 𝐺 ) 𝑃 ↔ ( 𝑓 ∈ Word dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑃 : ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ⟶ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) ) |
47 |
46
|
exbidv |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) → ( ∃ 𝑓 𝑓 ( Walks ‘ 𝐺 ) 𝑃 ↔ ∃ 𝑓 ( 𝑓 ∈ Word dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑃 : ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ⟶ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) ) |
48 |
42 47
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) → ∃ 𝑓 𝑓 ( Walks ‘ 𝐺 ) 𝑃 ) |
49 |
48
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝐺 ∈ USPGraph → ∃ 𝑓 𝑓 ( Walks ‘ 𝐺 ) 𝑃 ) ) |
50 |
49
|
ex |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) → ( ( 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝐺 ∈ USPGraph → ∃ 𝑓 𝑓 ( Walks ‘ 𝐺 ) 𝑃 ) ) ) |
51 |
4 50
|
syl5bi |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑃 ∈ ( WWalks ‘ 𝐺 ) → ( 𝐺 ∈ USPGraph → ∃ 𝑓 𝑓 ( Walks ‘ 𝐺 ) 𝑃 ) ) ) |
52 |
2 51
|
mpcom |
⊢ ( 𝑃 ∈ ( WWalks ‘ 𝐺 ) → ( 𝐺 ∈ USPGraph → ∃ 𝑓 𝑓 ( Walks ‘ 𝐺 ) 𝑃 ) ) |
53 |
52
|
com12 |
⊢ ( 𝐺 ∈ USPGraph → ( 𝑃 ∈ ( WWalks ‘ 𝐺 ) → ∃ 𝑓 𝑓 ( Walks ‘ 𝐺 ) 𝑃 ) ) |