Theorem wopprc

Description: Unrelated: Wiener pairs treat proper classes symmetrically. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014)

	Ref	Expression
Assertion	wopprc	|- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> -. 1o e. { { { A } , (/) } , { { B } } } )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id	|- ( { (/) } = { { A } , (/) } -> { (/) } = { { A } , (/) } )
2		dfsn2	|- { (/) } = { (/) , (/) }
3	1 2	eqtr3di	|- ( { (/) } = { { A } , (/) } -> { { A } , (/) } = { (/) , (/) } )
4		snex	|- { A } e. _V
5		0ex	|- (/) e. _V
6	4 5	preqr1	|- ( { { A } , (/) } = { (/) , (/) } -> { A } = (/) )
7	3 6	syl	|- ( { (/) } = { { A } , (/) } -> { A } = (/) )
8		snprc	|- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
9	7 8	sylibr	|- ( { (/) } = { { A } , (/) } -> -. A e. _V )
10	8	biimpi	|- ( -. A e. _V -> { A } = (/) )
11	10	preq1d	|- ( -. A e. _V -> { { A } , (/) } = { (/) , (/) } )
12	2 11	eqtr4id	|- ( -. A e. _V -> { (/) } = { { A } , (/) } )
13	9 12	impbii	|- ( { (/) } = { { A } , (/) } <-> -. A e. _V )
14	13	con2bii	|- ( A e. _V <-> -. { (/) } = { { A } , (/) } )
15		snprc	|- ( -. B e. _V <-> { B } = (/) )
16		eqcom	|- ( { B } = (/) <-> (/) = { B } )
17	15 16	bitr2i	|- ( (/) = { B } <-> -. B e. _V )
18	17	con2bii	|- ( B e. _V <-> -. (/) = { B } )
19	5	sneqr	|- ( { (/) } = { { B } } -> (/) = { B } )
20		sneq	|- ( (/) = { B } -> { (/) } = { { B } } )
21	19 20	impbii	|- ( { (/) } = { { B } } <-> (/) = { B } )
22	18 21	xchbinxr	|- ( B e. _V <-> -. { (/) } = { { B } } )
23	14 22	anbi12i	|- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> ( -. { (/) } = { { A } , (/) } /\ -. { (/) } = { { B } } ) )
24		pm4.56	|- ( ( -. { (/) } = { { A } , (/) } /\ -. { (/) } = { { B } } ) <-> -. ( { (/) } = { { A } , (/) } \/ { (/) } = { { B } } ) )
25		snex	|- { (/) } e. _V
26	25	elpr	|- ( { (/) } e. { { { A } , (/) } , { { B } } } <-> ( { (/) } = { { A } , (/) } \/ { (/) } = { { B } } ) )
27	24 26	xchbinxr	|- ( ( -. { (/) } = { { A } , (/) } /\ -. { (/) } = { { B } } ) <-> -. { (/) } e. { { { A } , (/) } , { { B } } } )
28	23 27	bitri	|- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> -. { (/) } e. { { { A } , (/) } , { { B } } } )
29		df1o2	|- 1o = { (/) }
30	29	eleq1i	|- ( 1o e. { { { A } , (/) } , { { B } } } <-> { (/) } e. { { { A } , (/) } , { { B } } } )
31	28 30	xchbinxr	|- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> -. 1o e. { { { A } , (/) } , { { B } } } )