Metamath Proof Explorer


Theorem cdleme20bN

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113, last paragraph on p. 114, second line. D , F , Y , G represent s_2, f(s), t_2, f(t). We show v \/ s_2 = v \/ t_2. (Contributed by NM, 15-Nov-2012) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses cdleme19.l ˙ = K
cdleme19.j ˙ = join K
cdleme19.m ˙ = meet K
cdleme19.a A = Atoms K
cdleme19.h H = LHyp K
cdleme19.u U = P ˙ Q ˙ W
cdleme19.f F = S ˙ U ˙ Q ˙ P ˙ S ˙ W
cdleme19.g G = T ˙ U ˙ Q ˙ P ˙ T ˙ W
cdleme19.d D = R ˙ S ˙ W
cdleme19.y Y = R ˙ T ˙ W
cdleme20.v V = S ˙ T ˙ W
Assertion cdleme20bN K HL W H R A S A ¬ S ˙ W T A ¬ T ˙ W ¬ S ˙ P ˙ Q ¬ T ˙ P ˙ Q R ˙ P ˙ Q V ˙ D = V ˙ Y

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme19.l ˙ = K
2 cdleme19.j ˙ = join K
3 cdleme19.m ˙ = meet K
4 cdleme19.a A = Atoms K
5 cdleme19.h H = LHyp K
6 cdleme19.u U = P ˙ Q ˙ W
7 cdleme19.f F = S ˙ U ˙ Q ˙ P ˙ S ˙ W
8 cdleme19.g G = T ˙ U ˙ Q ˙ P ˙ T ˙ W
9 cdleme19.d D = R ˙ S ˙ W
10 cdleme19.y Y = R ˙ T ˙ W
11 cdleme20.v V = S ˙ T ˙ W
12 simp1l K HL W H R A S A ¬ S ˙ W T A ¬ T ˙ W ¬ S ˙ P ˙ Q ¬ T ˙ P ˙ Q R ˙ P ˙ Q K HL
13 12 hllatd K HL W H R A S A ¬ S ˙ W T A ¬ T ˙ W ¬ S ˙ P ˙ Q ¬ T ˙ P ˙ Q R ˙ P ˙ Q K Lat
14 simp22l K HL W H R A S A ¬ S ˙ W T A ¬ T ˙ W ¬ S ˙ P ˙ Q ¬ T ˙ P ˙ Q R ˙ P ˙ Q S A
15 eqid Base K = Base K
16 15 4 atbase S A S Base K
17 14 16 syl K HL W H R A S A ¬ S ˙ W T A ¬ T ˙ W ¬ S ˙ P ˙ Q ¬ T ˙ P ˙ Q R ˙ P ˙ Q S Base K
18 simp21 K HL W H R A S A ¬ S ˙ W T A ¬ T ˙ W ¬ S ˙ P ˙ Q ¬ T ˙ P ˙ Q R ˙ P ˙ Q R A
19 15 4 atbase R A R Base K
20 18 19 syl K HL W H R A S A ¬ S ˙ W T A ¬ T ˙ W ¬ S ˙ P ˙ Q ¬ T ˙ P ˙ Q R ˙ P ˙ Q R Base K
21 simp23l K HL W H R A S A ¬ S ˙ W T A ¬ T ˙ W ¬ S ˙ P ˙ Q ¬ T ˙ P ˙ Q R ˙ P ˙ Q T A
22 15 4 atbase T A T Base K
23 21 22 syl K HL W H R A S A ¬ S ˙ W T A ¬ T ˙ W ¬ S ˙ P ˙ Q ¬ T ˙ P ˙ Q R ˙ P ˙ Q T Base K
24 15 2 latj31 K Lat S Base K R Base K T Base K S ˙ R ˙ T = T ˙ R ˙ S
25 13 17 20 23 24 syl13anc K HL W H R A S A ¬ S ˙ W T A ¬ T ˙ W ¬ S ˙ P ˙ Q ¬ T ˙ P ˙ Q R ˙ P ˙ Q S ˙ R ˙ T = T ˙ R ˙ S
26 25 oveq1d K HL W H R A S A ¬ S ˙ W T A ¬ T ˙ W ¬ S ˙ P ˙ Q ¬ T ˙ P ˙ Q R ˙ P ˙ Q S ˙ R ˙ T ˙ W = T ˙ R ˙ S ˙ W
27 simp1r K HL W H R A S A ¬ S ˙ W T A ¬ T ˙ W ¬ S ˙ P ˙ Q ¬ T ˙ P ˙ Q R ˙ P ˙ Q W H
28 simp22r K HL W H R A S A ¬ S ˙ W T A ¬ T ˙ W ¬ S ˙ P ˙ Q ¬ T ˙ P ˙ Q R ˙ P ˙ Q ¬ S ˙ W
29 simp31 K HL W H R A S A ¬ S ˙ W T A ¬ T ˙ W ¬ S ˙ P ˙ Q ¬ T ˙ P ˙ Q R ˙ P ˙ Q ¬ S ˙ P ˙ Q
30 simp33 K HL W H R A S A ¬ S ˙ W T A ¬ T ˙ W ¬ S ˙ P ˙ Q ¬ T ˙ P ˙ Q R ˙ P ˙ Q R ˙ P ˙ Q
31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdleme20aN K HL W H R A S A ¬ S ˙ W T A ¬ S ˙ P ˙ Q R ˙ P ˙ Q V ˙ D = S ˙ R ˙ T ˙ W
32 12 27 18 14 28 21 29 30 31 syl233anc K HL W H R A S A ¬ S ˙ W T A ¬ T ˙ W ¬ S ˙ P ˙ Q ¬ T ˙ P ˙ Q R ˙ P ˙ Q V ˙ D = S ˙ R ˙ T ˙ W
33 2 4 hlatjcom K HL S A T A S ˙ T = T ˙ S
34 12 14 21 33 syl3anc K HL W H R A S A ¬ S ˙ W T A ¬ T ˙ W ¬ S ˙ P ˙ Q ¬ T ˙ P ˙ Q R ˙ P ˙ Q S ˙ T = T ˙ S
35 34 oveq1d K HL W H R A S A ¬ S ˙ W T A ¬ T ˙ W ¬ S ˙ P ˙ Q ¬ T ˙ P ˙ Q R ˙ P ˙ Q S ˙ T ˙ W = T ˙ S ˙ W
36 11 35 syl5eq K HL W H R A S A ¬ S ˙ W T A ¬ T ˙ W ¬ S ˙ P ˙ Q ¬ T ˙ P ˙ Q R ˙ P ˙ Q V = T ˙ S ˙ W
37 36 oveq1d K HL W H R A S A ¬ S ˙ W T A ¬ T ˙ W ¬ S ˙ P ˙ Q ¬ T ˙ P ˙ Q R ˙ P ˙ Q V ˙ Y = T ˙ S ˙ W ˙ Y
38 simp23r K HL W H R A S A ¬ S ˙ W T A ¬ T ˙ W ¬ S ˙ P ˙ Q ¬ T ˙ P ˙ Q R ˙ P ˙ Q ¬ T ˙ W
39 simp32 K HL W H R A S A ¬ S ˙ W T A ¬ T ˙ W ¬ S ˙ P ˙ Q ¬ T ˙ P ˙ Q R ˙ P ˙ Q ¬ T ˙ P ˙ Q
40 eqid T ˙ S ˙ W = T ˙ S ˙ W
41 1 2 3 4 5 6 8 7 10 9 40 cdleme20aN K HL W H R A T A ¬ T ˙ W S A ¬ T ˙ P ˙ Q R ˙ P ˙ Q T ˙ S ˙ W ˙ Y = T ˙ R ˙ S ˙ W
42 12 27 18 21 38 14 39 30 41 syl233anc K HL W H R A S A ¬ S ˙ W T A ¬ T ˙ W ¬ S ˙ P ˙ Q ¬ T ˙ P ˙ Q R ˙ P ˙ Q T ˙ S ˙ W ˙ Y = T ˙ R ˙ S ˙ W
43 37 42 eqtrd K HL W H R A S A ¬ S ˙ W T A ¬ T ˙ W ¬ S ˙ P ˙ Q ¬ T ˙ P ˙ Q R ˙ P ˙ Q V ˙ Y = T ˙ R ˙ S ˙ W
44 26 32 43 3eqtr4d K HL W H R A S A ¬ S ˙ W T A ¬ T ˙ W ¬ S ˙ P ˙ Q ¬ T ˙ P ˙ Q R ˙ P ˙ Q V ˙ D = V ˙ Y