cdlemk22

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Lines 26-27, p. 119 for i=1 and j=2. (Contributed by NM, 5-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemk2.b	$⊢ B = {Base}_{K}$
	cdlemk2.l	$⊢ \underset{˙}{\leq} = \leq_{K}$
	cdlemk2.j	$⊢ \underset{˙}{\lor} = join (K)$
	cdlemk2.m	$⊢ \underset{˙}{\land} = meet (K)$
	cdlemk2.a	$⊢ A = Atoms (K)$
	cdlemk2.h	$⊢ H = LHyp (K)$
	cdlemk2.t	$⊢ T = LTrn (K) (W)$
	cdlemk2.r	$⊢ R = trL (K) (W)$
	cdlemk2.s	$⊢ S = (f \in T ⟼ (ι i \in T \| i (P) = (P \underset{˙}{\lor} R (f)) \underset{˙}{\land} (N (P) \underset{˙}{\lor} R (f \circ F^{-1}))))$
	cdlemk2.q	$⊢ Q = S (C)$
	cdlemk2.v	$⊢ V = (d \in T ⟼ (ι k \in T \| k (P) = (P \underset{˙}{\lor} R (d)) \underset{˙}{\land} (Q (P) \underset{˙}{\lor} R (d \circ C^{-1}))))$
	cdlemk2a.o	$⊢ O = S (D)$
	cdlemk2.u	$⊢ U = (e \in T ⟼ (ι j \in T \| j (P) = (P \underset{˙}{\lor} R (e)) \underset{˙}{\land} (O (P) \underset{˙}{\lor} R (e \circ D^{-1}))))$
Assertion	cdlemk22	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to U (G) (P) = V (G) (P)$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk2.b	$⊢ B = {Base}_{K}$
2		cdlemk2.l	$⊢ \underset{˙}{\leq} = \leq_{K}$
3		cdlemk2.j	$⊢ \underset{˙}{\lor} = join (K)$
4		cdlemk2.m	$⊢ \underset{˙}{\land} = meet (K)$
5		cdlemk2.a	$⊢ A = Atoms (K)$
6		cdlemk2.h	$⊢ H = LHyp (K)$
7		cdlemk2.t	$⊢ T = LTrn (K) (W)$
8		cdlemk2.r	$⊢ R = trL (K) (W)$
9		cdlemk2.s	$⊢ S = (f \in T ⟼ (ι i \in T \| i (P) = (P \underset{˙}{\lor} R (f)) \underset{˙}{\land} (N (P) \underset{˙}{\lor} R (f \circ F^{-1}))))$
10		cdlemk2.q	$⊢ Q = S (C)$
11		cdlemk2.v	$⊢ V = (d \in T ⟼ (ι k \in T \| k (P) = (P \underset{˙}{\lor} R (d)) \underset{˙}{\land} (Q (P) \underset{˙}{\lor} R (d \circ C^{-1}))))$
12		cdlemk2a.o	$⊢ O = S (D)$
13		cdlemk2.u	$⊢ U = (e \in T ⟼ (ι j \in T \| j (P) = (P \underset{˙}{\lor} R (e)) \underset{˙}{\land} (O (P) \underset{˙}{\lor} R (e \circ D^{-1}))))$
14		simp11	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to (K \in HL \land W \in H)$
15		simp212	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to G \in T$
16		simp22	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W)$
17	2 3 5 6 7 8	trljat1	$⊢ ((K \in HL \land W \in H) \land G \in T \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W)) \to P \underset{˙}{\lor} R (G) = P \underset{˙}{\lor} G (P)$
18	14 15 16 17	syl3anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to P \underset{˙}{\lor} R (G) = P \underset{˙}{\lor} G (P)$
19		simp1	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to ((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T)$
20		simp211	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to N \in T$
21		simp213	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to C \in T$
22	20 21	jca	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to (N \in T \land C \in T)$
23		simp23	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to R (F) = R (N)$
24		simp311	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to F \neq {I ↾}_{B}$
25		simp312	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to D \neq {I ↾}_{B}$
26		simp321	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to C \neq {I ↾}_{B}$
27	24 25 26	3jca	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to (F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land C \neq {I ↾}_{B})$
28		simp331	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to R (D) \neq R (F)$
29		simp323	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to R (C) \neq R (F)$
30		simp333	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to R (C) \neq R (D)$
31	28 29 30	3jca	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to (R (D) \neq R (F) \land R (C) \neq R (F) \land R (C) \neq R (D))$
32	1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 13 10	cdlemk20	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land C \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (C) \neq R (F) \land R (C) \neq R (D)))) \to U (C) (P) = Q (P)$
33	19 22 16 23 27 31 32	syl132anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to U (C) (P) = Q (P)$
34	33	eqcomd	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to Q (P) = U (C) (P)$
35	6 7 8	trlcocnv	$⊢ ((K \in HL \land W \in H) \land G \in T \land C \in T) \to R (G \circ C^{-1}) = R (C \circ G^{-1})$
36	14 15 21 35	syl3anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to R (G \circ C^{-1}) = R (C \circ G^{-1})$
37	34 36	oveq12d	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to Q (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ C^{-1}) = U (C) (P) \underset{˙}{\lor} R (C \circ G^{-1})$
38	18 37	oveq12d	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to (P \underset{˙}{\lor} R (G)) \underset{˙}{\land} (Q (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ C^{-1})) = (P \underset{˙}{\lor} G (P)) \underset{˙}{\land} (U (C) (P) \underset{˙}{\lor} R (C \circ G^{-1}))$
39		simp12	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to F \in T$
40		simp322	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to R (G) \neq R (C)$
41	40	necomd	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to R (C) \neq R (G)$
42	29 41	jca	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to (R (C) \neq R (F) \land R (C) \neq R (G))$
43		simp313	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to G \neq {I ↾}_{B}$
44	24 43 26	3jca	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to (F \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B} \land C \neq {I ↾}_{B})$
45	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	cdlemkuv2-2	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land R (F) = R (N) \land G \in T) \land (F \in T \land C \in T \land N \in T) \land ((R (C) \neq R (F) \land R (C) \neq R (G)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B} \land C \neq {I ↾}_{B}) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W))) \to V (G) (P) = (P \underset{˙}{\lor} R (G)) \underset{˙}{\land} (Q (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ C^{-1}))$
46	14 23 15 39 21 20 42 44 16 45	syl333anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to V (G) (P) = (P \underset{˙}{\lor} R (G)) \underset{˙}{\land} (Q (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ C^{-1}))$
47		simp31	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to (F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B})$
48	26 40	jca	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C))$
49		simp33	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D))$
50	47 48 49	3jca	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))$
51	1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 13	cdlemk12u	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to U (G) (P) = (P \underset{˙}{\lor} G (P)) \underset{˙}{\land} (U (C) (P) \underset{˙}{\lor} R (C \circ G^{-1}))$
52	50 51	syld3an3	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to U (G) (P) = (P \underset{˙}{\lor} G (P)) \underset{˙}{\land} (U (C) (P) \underset{˙}{\lor} R (C \circ G^{-1}))$
53	38 46 52	3eqtr4rd	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land C \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (C \neq {I ↾}_{B} \land R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F)) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (C) \neq R (D)))) \to U (G) (P) = V (G) (P)$

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Theorem cdlemk22

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