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Theorem fdivmptf

Description: The quotient of two functions into the complex numbers is a function into the complex numbers. (Contributed by AV, 16-May-2020)

Ref Expression
Assertion fdivmptf F : A G : A A V F / f G : G supp 0

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simpl1 F : A G : A A V x supp 0 G F : A
2 suppssdm G supp 0 dom G
3 fdm G : A dom G = A
4 2 3 sseqtrid G : A G supp 0 A
5 4 3ad2ant2 F : A G : A A V G supp 0 A
6 5 sselda F : A G : A A V x supp 0 G x A
7 1 6 ffvelrnd F : A G : A A V x supp 0 G F x
8 simpl2 F : A G : A A V x supp 0 G G : A
9 8 6 ffvelrnd F : A G : A A V x supp 0 G G x
10 ffn G : A G Fn A
11 10 3ad2ant2 F : A G : A A V G Fn A
12 simp3 F : A G : A A V A V
13 0cnd F : A G : A A V 0
14 elsuppfn G Fn A A V 0 x supp 0 G x A G x 0
15 11 12 13 14 syl3anc F : A G : A A V x supp 0 G x A G x 0
16 15 simplbda F : A G : A A V x supp 0 G G x 0
17 7 9 16 divcld F : A G : A A V x supp 0 G F x G x
18 17 fmpttd F : A G : A A V x supp 0 G F x G x : G supp 0
19 fdivmpt F : A G : A A V F / f G = x supp 0 G F x G x
20 19 feq1d F : A G : A A V F / f G : G supp 0 x supp 0 G F x G x : G supp 0
21 18 20 mpbird F : A G : A A V F / f G : G supp 0