Theorem newval

Description: The value of the new options function. (Contributed by Scott Fenton, 9-Oct-2024)

	Ref	Expression
Assertion	newval	$$⊢N\left(A\right)=M\left(A\right)\setminus \mathrm{Old}\left(A\right)$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2	$$⊢x=A\to M\left(x\right)=M\left(A\right)$$
2		fveq2	$$⊢x=A\to \mathrm{Old}\left(x\right)=\mathrm{Old}\left(A\right)$$
3	1 2	difeq12d	$$⊢x=A\to M\left(x\right)\setminus \mathrm{Old}\left(x\right)=M\left(A\right)\setminus \mathrm{Old}\left(A\right)$$
4		df-new	$$⊢N=\left(x\in \mathrm{On}⟼M\left(x\right)\setminus \mathrm{Old}\left(x\right)\right)$$
5		fvex	$$⊢M\left(A\right)\in \mathrm{V}$$
6	5	difexi	$$⊢M\left(A\right)\setminus \mathrm{Old}\left(A\right)\in \mathrm{V}$$
7	3 4 6	fvmpt	$$⊢A\in \mathrm{On}\to N\left(A\right)=M\left(A\right)\setminus \mathrm{Old}\left(A\right)$$
8	4	fvmptndm	$$⊢\neg A\in \mathrm{On}\to N\left(A\right)=\varnothing$$
9		df-made	$$⊢M=\mathrm{recs}\left(\left(f\in \mathrm{V}⟼{|}_s\left[𝒫\bigcup \mathrm{ran}f\times 𝒫\bigcup \mathrm{ran}f\right]\right)\right)$$
10	9	tfr1	$$⊢MFn\mathrm{On}$$
11	10	fndmi	$$⊢\mathrm{dom}M=\mathrm{On}$$
12	11	eleq2i	$$⊢A\in \mathrm{dom}M\leftrightarrow A\in \mathrm{On}$$
13		ndmfv	$$⊢\neg A\in \mathrm{dom}M\to M\left(A\right)=\varnothing$$
14	12 13	sylnbir	$$⊢\neg A\in \mathrm{On}\to M\left(A\right)=\varnothing$$
15	14	difeq1d	$$⊢\neg A\in \mathrm{On}\to M\left(A\right)\setminus \mathrm{Old}\left(A\right)=\varnothing \setminus \mathrm{Old}\left(A\right)$$
16		0dif	$$⊢\varnothing \setminus \mathrm{Old}\left(A\right)=\varnothing$$
17	15 16	eqtrdi	$$⊢\neg A\in \mathrm{On}\to M\left(A\right)\setminus \mathrm{Old}\left(A\right)=\varnothing$$
18	8 17	eqtr4d	$$⊢\neg A\in \mathrm{On}\to N\left(A\right)=M\left(A\right)\setminus \mathrm{Old}\left(A\right)$$
19	7 18	pm2.61i	$$⊢N\left(A\right)=M\left(A\right)\setminus \mathrm{Old}\left(A\right)$$