Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
2arympt.f |
⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 ↑m { 0 , 1 } ) ↦ ( ( 𝑥 ‘ 0 ) 𝑂 ( 𝑥 ‘ 1 ) ) ) |
2 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑥 = { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } → ( 𝑥 ‘ 0 ) = ( { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } ‘ 0 ) ) |
3 |
2
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑥 = { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } ) → ( 𝑥 ‘ 0 ) = ( { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } ‘ 0 ) ) |
4 |
|
c0ex |
⊢ 0 ∈ V |
5 |
4
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → 0 ∈ V ) |
6 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → 𝐴 ∈ 𝑋 ) |
7 |
|
0ne1 |
⊢ 0 ≠ 1 |
8 |
7
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → 0 ≠ 1 ) |
9 |
5 6 8
|
3jca |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( 0 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 0 ≠ 1 ) ) |
10 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑥 = { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } ) → ( 0 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 0 ≠ 1 ) ) |
11 |
|
fvpr1g |
⊢ ( ( 0 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 0 ≠ 1 ) → ( { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } ‘ 0 ) = 𝐴 ) |
12 |
10 11
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑥 = { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } ) → ( { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } ‘ 0 ) = 𝐴 ) |
13 |
3 12
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑥 = { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } ) → ( 𝑥 ‘ 0 ) = 𝐴 ) |
14 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑥 = { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } → ( 𝑥 ‘ 1 ) = ( { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } ‘ 1 ) ) |
15 |
|
1ex |
⊢ 1 ∈ V |
16 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → 𝐵 ∈ 𝑋 ) |
17 |
|
fvpr2g |
⊢ ( ( 1 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 0 ≠ 1 ) → ( { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } ‘ 1 ) = 𝐵 ) |
18 |
15 16 8 17
|
mp3an2i |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } ‘ 1 ) = 𝐵 ) |
19 |
14 18
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑥 = { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } ) → ( 𝑥 ‘ 1 ) = 𝐵 ) |
20 |
13 19
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑥 = { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } ) → ( ( 𝑥 ‘ 0 ) 𝑂 ( 𝑥 ‘ 1 ) ) = ( 𝐴 𝑂 𝐵 ) ) |
21 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → 𝑋 ∈ 𝑉 ) |
22 |
4 15 7
|
3pm3.2i |
⊢ ( 0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1 ) |
23 |
22
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( 0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1 ) ) |
24 |
|
3simpc |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ) |
25 |
|
fprmappr |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ( 0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1 ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ) → { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } ∈ ( 𝑋 ↑m { 0 , 1 } ) ) |
26 |
21 23 24 25
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } ∈ ( 𝑋 ↑m { 0 , 1 } ) ) |
27 |
|
ovexd |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 𝑂 𝐵 ) ∈ V ) |
28 |
1 20 26 27
|
fvmptd2 |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐹 ‘ { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } ) = ( 𝐴 𝑂 𝐵 ) ) |