| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
2atomslt.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 ) |
| 2 |
|
2atomslt.s |
⊢ < = ( lt ‘ 𝐾 ) |
| 3 |
|
2atomslt.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
| 4 |
1 3
|
atbase |
⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵 ) |
| 5 |
|
eqid |
⊢ ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 ) |
| 6 |
|
eqid |
⊢ ( join ‘ 𝐾 ) = ( join ‘ 𝐾 ) |
| 7 |
1 5 2 6 3
|
hlrelat |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) |
| 8 |
4 7
|
syl3anl2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) |
| 9 |
|
simp3l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) |
| 10 |
|
simp1l1 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
| 11 |
|
simp1l2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 ) |
| 12 |
|
simp2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → 𝑞 ∈ 𝐴 ) |
| 13 |
|
eqid |
⊢ ( ⋖ ‘ 𝐾 ) = ( ⋖ ‘ 𝐾 ) |
| 14 |
2 6 3 13
|
atltcvr |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ↔ 𝑃 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) |
| 15 |
10 11 11 12 14
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ↔ 𝑃 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) |
| 16 |
9 15
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → 𝑃 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) |
| 17 |
6 13 3
|
atcvr1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ≠ 𝑞 ↔ 𝑃 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) |
| 18 |
10 11 12 17
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → ( 𝑃 ≠ 𝑞 ↔ 𝑃 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) |
| 19 |
16 18
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → 𝑃 ≠ 𝑞 ) |
| 20 |
19
|
necomd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → 𝑞 ≠ 𝑃 ) |
| 21 |
2 6 3
|
atlt |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑞 < ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑃 ) ↔ 𝑞 ≠ 𝑃 ) ) |
| 22 |
10 12 11 21
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → ( 𝑞 < ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑃 ) ↔ 𝑞 ≠ 𝑃 ) ) |
| 23 |
20 22
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → 𝑞 < ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑃 ) ) |
| 24 |
10
|
hllatd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
| 25 |
11 4
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐵 ) |
| 26 |
1 3
|
atbase |
⊢ ( 𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ 𝐵 ) |
| 27 |
26
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → 𝑞 ∈ 𝐵 ) |
| 28 |
1 6
|
latjcom |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑃 ) ) |
| 29 |
24 25 27 28
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑃 ) ) |
| 30 |
23 29
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → 𝑞 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) |
| 31 |
|
simp3r |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) |
| 32 |
|
hlpos |
⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset ) |
| 33 |
10 32
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → 𝐾 ∈ Poset ) |
| 34 |
1 6
|
latjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∈ 𝐵 ) |
| 35 |
24 25 27 34
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∈ 𝐵 ) |
| 36 |
|
simp1l3 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
| 37 |
1 5 2
|
pltletr |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Poset ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑞 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) → 𝑞 < 𝑋 ) ) |
| 38 |
33 27 35 36 37
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑞 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) → 𝑞 < 𝑋 ) ) |
| 39 |
30 31 38
|
mp2and |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → 𝑞 < 𝑋 ) |
| 40 |
20 39
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 < 𝑋 ) ) |
| 41 |
40
|
3exp |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) → ( 𝑞 ∈ 𝐴 → ( ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) → ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 < 𝑋 ) ) ) ) |
| 42 |
41
|
reximdvai |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) → ( ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 < 𝑋 ) ) ) |
| 43 |
8 42
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 < 𝑋 ) ) |