Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
oveq1 |
โข ( ๐ = ( โ โ 2 ) โ ( ๐ โ๐ ๐ ) = ( ( โ โ 2 ) โ๐ ๐ ) ) |
2 |
1
|
eleq1d |
โข ( ๐ = ( โ โ 2 ) โ ( ( ๐ โ๐ ๐ ) โ โ โ ( ( โ โ 2 ) โ๐ ๐ ) โ โ ) ) |
3 |
|
oveq2 |
โข ( ๐ = ( โ โ 2 ) โ ( ( โ โ 2 ) โ๐ ๐ ) = ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) ) |
4 |
3
|
eleq1d |
โข ( ๐ = ( โ โ 2 ) โ ( ( ( โ โ 2 ) โ๐ ๐ ) โ โ โ ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ โ ) ) |
5 |
2 4
|
rspc2ev |
โข ( ( ( โ โ 2 ) โ ( โ โ โ ) โง ( โ โ 2 ) โ ( โ โ โ ) โง ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ โ ) โ โ ๐ โ ( โ โ โ ) โ ๐ โ ( โ โ โ ) ( ๐ โ๐ ๐ ) โ โ ) |
6 |
|
3ianor |
โข ( ยฌ ( ( โ โ 2 ) โ ( โ โ โ ) โง ( โ โ 2 ) โ ( โ โ โ ) โง ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ โ ) โ ( ยฌ ( โ โ 2 ) โ ( โ โ โ ) โจ ยฌ ( โ โ 2 ) โ ( โ โ โ ) โจ ยฌ ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ โ ) ) |
7 |
|
sqrt2irr0 |
โข ( โ โ 2 ) โ ( โ โ โ ) |
8 |
7
|
pm2.24i |
โข ( ยฌ ( โ โ 2 ) โ ( โ โ โ ) โ ( ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ ( โ โ โ ) โง ( โ โ 2 ) โ ( โ โ โ ) โง ( ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ โ ) ) |
9 |
|
2rp |
โข 2 โ โ+ |
10 |
|
rpsqrtcl |
โข ( 2 โ โ+ โ ( โ โ 2 ) โ โ+ ) |
11 |
9 10
|
ax-mp |
โข ( โ โ 2 ) โ โ+ |
12 |
|
rpre |
โข ( ( โ โ 2 ) โ โ+ โ ( โ โ 2 ) โ โ ) |
13 |
|
rpge0 |
โข ( ( โ โ 2 ) โ โ+ โ 0 โค ( โ โ 2 ) ) |
14 |
12 13 12
|
recxpcld |
โข ( ( โ โ 2 ) โ โ+ โ ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ โ ) |
15 |
11 14
|
ax-mp |
โข ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ โ |
16 |
15
|
a1i |
โข ( ยฌ ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ โ โ ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ โ ) |
17 |
|
id |
โข ( ยฌ ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ โ โ ยฌ ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ โ ) |
18 |
16 17
|
eldifd |
โข ( ยฌ ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ โ โ ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ ( โ โ โ ) ) |
19 |
7
|
a1i |
โข ( ยฌ ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ โ โ ( โ โ 2 ) โ ( โ โ โ ) ) |
20 |
|
sqrt2re |
โข ( โ โ 2 ) โ โ |
21 |
20
|
recni |
โข ( โ โ 2 ) โ โ |
22 |
|
cxpmul |
โข ( ( ( โ โ 2 ) โ โ+ โง ( โ โ 2 ) โ โ โง ( โ โ 2 ) โ โ ) โ ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( ( โ โ 2 ) ยท ( โ โ 2 ) ) ) = ( ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) ) |
23 |
11 20 21 22
|
mp3an |
โข ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( ( โ โ 2 ) ยท ( โ โ 2 ) ) ) = ( ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) |
24 |
|
2re |
โข 2 โ โ |
25 |
|
0le2 |
โข 0 โค 2 |
26 |
|
remsqsqrt |
โข ( ( 2 โ โ โง 0 โค 2 ) โ ( ( โ โ 2 ) ยท ( โ โ 2 ) ) = 2 ) |
27 |
24 25 26
|
mp2an |
โข ( ( โ โ 2 ) ยท ( โ โ 2 ) ) = 2 |
28 |
27
|
oveq2i |
โข ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( ( โ โ 2 ) ยท ( โ โ 2 ) ) ) = ( ( โ โ 2 ) โ๐ 2 ) |
29 |
|
2cn |
โข 2 โ โ |
30 |
|
cxpsqrtth |
โข ( 2 โ โ โ ( ( โ โ 2 ) โ๐ 2 ) = 2 ) |
31 |
29 30
|
ax-mp |
โข ( ( โ โ 2 ) โ๐ 2 ) = 2 |
32 |
|
2z |
โข 2 โ โค |
33 |
|
zq |
โข ( 2 โ โค โ 2 โ โ ) |
34 |
32 33
|
ax-mp |
โข 2 โ โ |
35 |
31 34
|
eqeltri |
โข ( ( โ โ 2 ) โ๐ 2 ) โ โ |
36 |
28 35
|
eqeltri |
โข ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( ( โ โ 2 ) ยท ( โ โ 2 ) ) ) โ โ |
37 |
23 36
|
eqeltrri |
โข ( ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ โ |
38 |
37
|
a1i |
โข ( ยฌ ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ โ โ ( ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ โ ) |
39 |
18 19 38
|
3jca |
โข ( ยฌ ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ โ โ ( ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ ( โ โ โ ) โง ( โ โ 2 ) โ ( โ โ โ ) โง ( ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ โ ) ) |
40 |
8 8 39
|
3jaoi |
โข ( ( ยฌ ( โ โ 2 ) โ ( โ โ โ ) โจ ยฌ ( โ โ 2 ) โ ( โ โ โ ) โจ ยฌ ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ โ ) โ ( ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ ( โ โ โ ) โง ( โ โ 2 ) โ ( โ โ โ ) โง ( ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ โ ) ) |
41 |
6 40
|
sylbi |
โข ( ยฌ ( ( โ โ 2 ) โ ( โ โ โ ) โง ( โ โ 2 ) โ ( โ โ โ ) โง ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ โ ) โ ( ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ ( โ โ โ ) โง ( โ โ 2 ) โ ( โ โ โ ) โง ( ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ โ ) ) |
42 |
|
oveq1 |
โข ( ๐ = ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ ( ๐ โ๐ ๐ ) = ( ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ๐ ๐ ) ) |
43 |
42
|
eleq1d |
โข ( ๐ = ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ ( ( ๐ โ๐ ๐ ) โ โ โ ( ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ๐ ๐ ) โ โ ) ) |
44 |
|
oveq2 |
โข ( ๐ = ( โ โ 2 ) โ ( ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ๐ ๐ ) = ( ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) ) |
45 |
44
|
eleq1d |
โข ( ๐ = ( โ โ 2 ) โ ( ( ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ๐ ๐ ) โ โ โ ( ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ โ ) ) |
46 |
43 45
|
rspc2ev |
โข ( ( ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ ( โ โ โ ) โง ( โ โ 2 ) โ ( โ โ โ ) โง ( ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ โ ) โ โ ๐ โ ( โ โ โ ) โ ๐ โ ( โ โ โ ) ( ๐ โ๐ ๐ ) โ โ ) |
47 |
41 46
|
syl |
โข ( ยฌ ( ( โ โ 2 ) โ ( โ โ โ ) โง ( โ โ 2 ) โ ( โ โ โ ) โง ( ( โ โ 2 ) โ๐ ( โ โ 2 ) ) โ โ ) โ โ ๐ โ ( โ โ โ ) โ ๐ โ ( โ โ โ ) ( ๐ โ๐ ๐ ) โ โ ) |
48 |
5 47
|
pm2.61i |
โข โ ๐ โ ( โ โ โ ) โ ๐ โ ( โ โ โ ) ( ๐ โ๐ ๐ ) โ โ |