Metamath Proof Explorer


Theorem 2irrexpq

Description: There exist irrational numbers a and b such that ( a ^c b ) is rational. Statement in the Metamath book, section 1.1.5, footnote 27 on page 17, and the "classical proof" for theorem 1.2 of Bauer, p. 483. This proof is not acceptable in intuitionistic logic, since it is based on the law of excluded middle: Either ( ( sqrt2 ) ^c ( sqrt2 ) ) is rational, in which case ( sqrt2 ) , being irrational (see sqrt2irr ), can be chosen for both a and b , or ( ( sqrt2 ) ^c ( sqrt2 ) ) is irrational, in which case ( ( sqrt2 ) ^c ( sqrt2 ) ) can be chosen for a and ( sqrt2 ) for b , since ( ( ( sqrt2 ) ^c ( sqrt2 ) ) ^c ( sqrt2 ) ) = 2 is rational. For an alternate proof, which can be used in intuitionistic logic, see 2irrexpqALT . (Contributed by AV, 23-Dec-2022)

Ref Expression
Assertion 2irrexpq โˆƒ ๐‘Ž โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) โˆƒ ๐‘ โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) ( ๐‘Ž โ†‘๐‘ ๐‘ ) โˆˆ โ„š

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 oveq1 โŠข ( ๐‘Ž = ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†’ ( ๐‘Ž โ†‘๐‘ ๐‘ ) = ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ๐‘ ) )
2 1 eleq1d โŠข ( ๐‘Ž = ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†’ ( ( ๐‘Ž โ†‘๐‘ ๐‘ ) โˆˆ โ„š โ†” ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ๐‘ ) โˆˆ โ„š ) )
3 oveq2 โŠข ( ๐‘ = ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†’ ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ๐‘ ) = ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) )
4 3 eleq1d โŠข ( ๐‘ = ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†’ ( ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ๐‘ ) โˆˆ โ„š โ†” ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ โ„š ) )
5 2 4 rspc2ev โŠข ( ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) โˆง ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) โˆง ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ โ„š ) โ†’ โˆƒ ๐‘Ž โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) โˆƒ ๐‘ โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) ( ๐‘Ž โ†‘๐‘ ๐‘ ) โˆˆ โ„š )
6 3ianor โŠข ( ยฌ ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) โˆง ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) โˆง ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ โ„š ) โ†” ( ยฌ ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) โˆจ ยฌ ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) โˆจ ยฌ ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ โ„š ) )
7 sqrt2irr0 โŠข ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š )
8 7 pm2.24i โŠข ( ยฌ ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) โ†’ ( ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) โˆง ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) โˆง ( ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ โ„š ) )
9 2rp โŠข 2 โˆˆ โ„+
10 rpsqrtcl โŠข ( 2 โˆˆ โ„+ โ†’ ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ โ„+ )
11 9 10 ax-mp โŠข ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ โ„+
12 rpre โŠข ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ โ„+ โ†’ ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ โ„ )
13 rpge0 โŠข ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ( โˆš โ€˜ 2 ) )
14 12 13 12 recxpcld โŠข ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ โ„+ โ†’ ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ โ„ )
15 11 14 ax-mp โŠข ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ โ„
16 15 a1i โŠข ( ยฌ ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ โ„š โ†’ ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ โ„ )
17 id โŠข ( ยฌ ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ โ„š โ†’ ยฌ ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ โ„š )
18 16 17 eldifd โŠข ( ยฌ ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ โ„š โ†’ ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) )
19 7 a1i โŠข ( ยฌ ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ โ„š โ†’ ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) )
20 sqrt2re โŠข ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ โ„
21 20 recni โŠข ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ โ„‚
22 cxpmul โŠข ( ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ โ„+ โˆง ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ โ„ โˆง ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ โ„‚ ) โ†’ ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( ( โˆš โ€˜ 2 ) ยท ( โˆš โ€˜ 2 ) ) ) = ( ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) )
23 11 20 21 22 mp3an โŠข ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( ( โˆš โ€˜ 2 ) ยท ( โˆš โ€˜ 2 ) ) ) = ( ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) )
24 2re โŠข 2 โˆˆ โ„
25 0le2 โŠข 0 โ‰ค 2
26 remsqsqrt โŠข ( ( 2 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 2 ) โ†’ ( ( โˆš โ€˜ 2 ) ยท ( โˆš โ€˜ 2 ) ) = 2 )
27 24 25 26 mp2an โŠข ( ( โˆš โ€˜ 2 ) ยท ( โˆš โ€˜ 2 ) ) = 2
28 27 oveq2i โŠข ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( ( โˆš โ€˜ 2 ) ยท ( โˆš โ€˜ 2 ) ) ) = ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ 2 )
29 2cn โŠข 2 โˆˆ โ„‚
30 cxpsqrtth โŠข ( 2 โˆˆ โ„‚ โ†’ ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ 2 ) = 2 )
31 29 30 ax-mp โŠข ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ 2 ) = 2
32 2z โŠข 2 โˆˆ โ„ค
33 zq โŠข ( 2 โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„š )
34 32 33 ax-mp โŠข 2 โˆˆ โ„š
35 31 34 eqeltri โŠข ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ 2 ) โˆˆ โ„š
36 28 35 eqeltri โŠข ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( ( โˆš โ€˜ 2 ) ยท ( โˆš โ€˜ 2 ) ) ) โˆˆ โ„š
37 23 36 eqeltrri โŠข ( ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ โ„š
38 37 a1i โŠข ( ยฌ ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ โ„š โ†’ ( ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ โ„š )
39 18 19 38 3jca โŠข ( ยฌ ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ โ„š โ†’ ( ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) โˆง ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) โˆง ( ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ โ„š ) )
40 8 8 39 3jaoi โŠข ( ( ยฌ ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) โˆจ ยฌ ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) โˆจ ยฌ ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ โ„š ) โ†’ ( ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) โˆง ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) โˆง ( ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ โ„š ) )
41 6 40 sylbi โŠข ( ยฌ ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) โˆง ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) โˆง ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ โ„š ) โ†’ ( ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) โˆง ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) โˆง ( ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ โ„š ) )
42 oveq1 โŠข ( ๐‘Ž = ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โ†’ ( ๐‘Ž โ†‘๐‘ ๐‘ ) = ( ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โ†‘๐‘ ๐‘ ) )
43 42 eleq1d โŠข ( ๐‘Ž = ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โ†’ ( ( ๐‘Ž โ†‘๐‘ ๐‘ ) โˆˆ โ„š โ†” ( ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โ†‘๐‘ ๐‘ ) โˆˆ โ„š ) )
44 oveq2 โŠข ( ๐‘ = ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†’ ( ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โ†‘๐‘ ๐‘ ) = ( ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) )
45 44 eleq1d โŠข ( ๐‘ = ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†’ ( ( ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โ†‘๐‘ ๐‘ ) โˆˆ โ„š โ†” ( ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ โ„š ) )
46 43 45 rspc2ev โŠข ( ( ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) โˆง ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) โˆง ( ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ โ„š ) โ†’ โˆƒ ๐‘Ž โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) โˆƒ ๐‘ โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) ( ๐‘Ž โ†‘๐‘ ๐‘ ) โˆˆ โ„š )
47 41 46 syl โŠข ( ยฌ ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) โˆง ( โˆš โ€˜ 2 ) โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) โˆง ( ( โˆš โ€˜ 2 ) โ†‘๐‘ ( โˆš โ€˜ 2 ) ) โˆˆ โ„š ) โ†’ โˆƒ ๐‘Ž โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) โˆƒ ๐‘ โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) ( ๐‘Ž โ†‘๐‘ ๐‘ ) โˆˆ โ„š )
48 5 47 pm2.61i โŠข โˆƒ ๐‘Ž โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) โˆƒ ๐‘ โˆˆ ( โ„ โˆ– โ„š ) ( ๐‘Ž โ†‘๐‘ ๐‘ ) โˆˆ โ„š