Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dfcgra2.p |
⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
dfcgra2.i |
⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
dfcgra2.m |
⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 ) |
4 |
|
dfcgra2.g |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
5 |
|
dfcgra2.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
6 |
|
dfcgra2.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
7 |
|
dfcgra2.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
8 |
|
dfcgra2.d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
9 |
|
dfcgra2.e |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃 ) |
10 |
|
dfcgra2.f |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃 ) |
11 |
|
acopy.l |
⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 ) |
12 |
|
acopy.1 |
⊢ ( 𝜑 → ¬ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐿 𝐶 ) ∨ 𝐵 = 𝐶 ) ) |
13 |
|
acopy.2 |
⊢ ( 𝜑 → ¬ ( 𝐷 ∈ ( 𝐸 𝐿 𝐹 ) ∨ 𝐸 = 𝐹 ) ) |
14 |
|
eqid |
⊢ ( hlG ‘ 𝐺 ) = ( hlG ‘ 𝐺 ) |
15 |
4
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
16 |
5
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
17 |
6
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
18 |
7
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
19 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) → 𝑑 ∈ 𝑃 ) |
20 |
9
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) → 𝐸 ∈ 𝑃 ) |
21 |
10
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝑃 ) |
22 |
12
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) → ¬ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐿 𝐶 ) ∨ 𝐵 = 𝐶 ) ) |
23 |
8
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
24 |
13
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) → ¬ ( 𝐷 ∈ ( 𝐸 𝐿 𝐹 ) ∨ 𝐸 = 𝐹 ) ) |
25 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) → 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ) |
26 |
1 2 14 19 23 20 15 11 25
|
hlln |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) → 𝑑 ∈ ( 𝐷 𝐿 𝐸 ) ) |
27 |
1 2 14 19 23 20 15 25
|
hlne1 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) → 𝑑 ≠ 𝐸 ) |
28 |
1 2 11 15 23 20 21 19 24 26 27
|
ncolncol |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) → ¬ ( 𝑑 ∈ ( 𝐸 𝐿 𝐹 ) ∨ 𝐸 = 𝐹 ) ) |
29 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) |
30 |
29
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( 𝐸 − 𝑑 ) ) |
31 |
1 3 2 15 17 16 20 19 30
|
tgcgrcomlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑑 − 𝐸 ) ) |
32 |
1 3 2 11 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 31
|
trgcopy |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) → ∃ 𝑓 ∈ 𝑃 ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝑑 𝐸 𝑓 ”〉 ∧ 𝑓 ( ( hpG ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑑 𝐿 𝐸 ) ) 𝐹 ) ) |
33 |
15
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝑑 𝐸 𝑓 ”〉 ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
34 |
16
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝑑 𝐸 𝑓 ”〉 ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
35 |
17
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝑑 𝐸 𝑓 ”〉 ) → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
36 |
18
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝑑 𝐸 𝑓 ”〉 ) → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
37 |
19
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝑑 𝐸 𝑓 ”〉 ) → 𝑑 ∈ 𝑃 ) |
38 |
20
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝑑 𝐸 𝑓 ”〉 ) → 𝐸 ∈ 𝑃 ) |
39 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝑑 𝐸 𝑓 ”〉 ) → 𝑓 ∈ 𝑃 ) |
40 |
1 2 11 4 5 6 7 12
|
ncolne1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵 ) |
41 |
40
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝑑 𝐸 𝑓 ”〉 ) → 𝐴 ≠ 𝐵 ) |
42 |
1 11 2 4 6 7 5 12
|
ncolrot1 |
⊢ ( 𝜑 → ¬ ( 𝐵 ∈ ( 𝐶 𝐿 𝐴 ) ∨ 𝐶 = 𝐴 ) ) |
43 |
1 2 11 4 6 7 5 42
|
ncolne1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶 ) |
44 |
43
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝑑 𝐸 𝑓 ”〉 ) → 𝐵 ≠ 𝐶 ) |
45 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝑑 𝐸 𝑓 ”〉 ) → 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝑑 𝐸 𝑓 ”〉 ) |
46 |
1 2 33 14 34 35 36 37 38 39 41 44 45
|
cgrcgra |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝑑 𝐸 𝑓 ”〉 ) → 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝑑 𝐸 𝑓 ”〉 ) |
47 |
23
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝑑 𝐸 𝑓 ”〉 ) → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
48 |
25
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝑑 𝐸 𝑓 ”〉 ) → 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ) |
49 |
1 2 14 37 47 38 33 48
|
hlcomd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝑑 𝐸 𝑓 ”〉 ) → 𝐷 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝑑 ) |
50 |
1 2 14 33 34 35 36 37 38 39 46 47 49
|
cgrahl1 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝑑 𝐸 𝑓 ”〉 ) → 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝑓 ”〉 ) |
51 |
50
|
ex |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃 ) → ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝑑 𝐸 𝑓 ”〉 → 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝑓 ”〉 ) ) |
52 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑓 ( ( hpG ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑑 𝐿 𝐸 ) ) 𝐹 ) → 𝑓 ( ( hpG ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑑 𝐿 𝐸 ) ) 𝐹 ) |
53 |
15
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑓 ( ( hpG ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑑 𝐿 𝐸 ) ) 𝐹 ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
54 |
19
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑓 ( ( hpG ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑑 𝐿 𝐸 ) ) 𝐹 ) → 𝑑 ∈ 𝑃 ) |
55 |
20
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑓 ( ( hpG ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑑 𝐿 𝐸 ) ) 𝐹 ) → 𝐸 ∈ 𝑃 ) |
56 |
27
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑓 ( ( hpG ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑑 𝐿 𝐸 ) ) 𝐹 ) → 𝑑 ≠ 𝐸 ) |
57 |
1 2 11 4 8 9 10 13
|
ncolne1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐸 ) |
58 |
1 2 11 4 8 9 57
|
tgelrnln |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 𝐿 𝐸 ) ∈ ran 𝐿 ) |
59 |
58
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑓 ( ( hpG ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑑 𝐿 𝐸 ) ) 𝐹 ) → ( 𝐷 𝐿 𝐸 ) ∈ ran 𝐿 ) |
60 |
26
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑓 ( ( hpG ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑑 𝐿 𝐸 ) ) 𝐹 ) → 𝑑 ∈ ( 𝐷 𝐿 𝐸 ) ) |
61 |
1 2 11 4 8 9 57
|
tglinerflx2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ( 𝐷 𝐿 𝐸 ) ) |
62 |
61
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑓 ( ( hpG ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑑 𝐿 𝐸 ) ) 𝐹 ) → 𝐸 ∈ ( 𝐷 𝐿 𝐸 ) ) |
63 |
1 2 11 53 54 55 56 56 59 60 62
|
tglinethru |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑓 ( ( hpG ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑑 𝐿 𝐸 ) ) 𝐹 ) → ( 𝐷 𝐿 𝐸 ) = ( 𝑑 𝐿 𝐸 ) ) |
64 |
63
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑓 ( ( hpG ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑑 𝐿 𝐸 ) ) 𝐹 ) → ( ( hpG ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝐷 𝐿 𝐸 ) ) = ( ( hpG ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑑 𝐿 𝐸 ) ) ) |
65 |
64
|
breqd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑓 ( ( hpG ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑑 𝐿 𝐸 ) ) 𝐹 ) → ( 𝑓 ( ( hpG ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝐷 𝐿 𝐸 ) ) 𝐹 ↔ 𝑓 ( ( hpG ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑑 𝐿 𝐸 ) ) 𝐹 ) ) |
66 |
52 65
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑓 ( ( hpG ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑑 𝐿 𝐸 ) ) 𝐹 ) → 𝑓 ( ( hpG ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝐷 𝐿 𝐸 ) ) 𝐹 ) |
67 |
66
|
ex |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑓 ( ( hpG ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑑 𝐿 𝐸 ) ) 𝐹 → 𝑓 ( ( hpG ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝐷 𝐿 𝐸 ) ) 𝐹 ) ) |
68 |
51 67
|
anim12d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃 ) → ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝑑 𝐸 𝑓 ”〉 ∧ 𝑓 ( ( hpG ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑑 𝐿 𝐸 ) ) 𝐹 ) → ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝑓 ”〉 ∧ 𝑓 ( ( hpG ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝐷 𝐿 𝐸 ) ) 𝐹 ) ) ) |
69 |
68
|
reximdva |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) → ( ∃ 𝑓 ∈ 𝑃 ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝑑 𝐸 𝑓 ”〉 ∧ 𝑓 ( ( hpG ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑑 𝐿 𝐸 ) ) 𝐹 ) → ∃ 𝑓 ∈ 𝑃 ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝑓 ”〉 ∧ 𝑓 ( ( hpG ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝐷 𝐿 𝐸 ) ) 𝐹 ) ) ) |
70 |
32 69
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) → ∃ 𝑓 ∈ 𝑃 ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝑓 ”〉 ∧ 𝑓 ( ( hpG ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝐷 𝐿 𝐸 ) ) 𝐹 ) ) |
71 |
40
|
necomd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴 ) |
72 |
1 2 14 9 6 5 4 8 3 57 71
|
hlcgrex |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑑 ∈ 𝑃 ( 𝑑 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ ( 𝐸 − 𝑑 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) |
73 |
70 72
|
r19.29a |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑓 ∈ 𝑃 ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝑓 ”〉 ∧ 𝑓 ( ( hpG ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝐷 𝐿 𝐸 ) ) 𝐹 ) ) |