Theorem ax5seglem5

Description: Lemma for ax5seg . If B is between A and C , and A is distinct from B , then A is distinct from C . (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013)

	Ref	Expression
Assertion	ax5seglem5	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ≠ 0 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1	⊢ ( 𝐴 = 𝐶 → ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) )
2	1	oveq2d	⊢ ( 𝐴 = 𝐶 → ( 𝑇 · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) = ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) )
3	2	oveq2d	⊢ ( 𝐴 = 𝐶 → ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) )
4	3	eqeq2d	⊢ ( 𝐴 = 𝐶 → ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ↔ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
5	4	ralbidv	⊢ ( 𝐴 = 𝐶 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
6	5	biimparc	⊢ ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ 𝐴 = 𝐶 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) )
7		simplr1	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
8		simplr2	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
9		eqeefv	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝐴 = 𝐵 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) )
10	7 8 9	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( 𝐴 = 𝐵 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) )
11		fveecn	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
12	7 11	sylan	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
13		elicc01	⊢ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ↔ ( 𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇 ∧ 𝑇 ≤ 1 ) )
14	13	simp1bi	⊢ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) → 𝑇 ∈ ℝ )
15	14	recnd	⊢ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) → 𝑇 ∈ ℂ )
16	15	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝑇 ∈ ℂ )
17		ax-1cn	⊢ 1 ∈ ℂ
18		npcan	⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( ( 1 − 𝑇 ) + 𝑇 ) = 1 )
19	17 18	mpan	⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( 1 − 𝑇 ) + 𝑇 ) = 1 )
20	19	oveq1d	⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( ( 1 − 𝑇 ) + 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) = ( 1 · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) )
21		mullid	⊢ ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ → ( 1 · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) = ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) )
22	20 21	sylan9eqr	⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( ( ( 1 − 𝑇 ) + 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) = ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) )
23		subcl	⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( 1 − 𝑇 ) ∈ ℂ )
24	17 23	mpan	⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( 1 − 𝑇 ) ∈ ℂ )
25	24	adantl	⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( 1 − 𝑇 ) ∈ ℂ )
26		simpr	⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → 𝑇 ∈ ℂ )
27		simpl	⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
28	25 26 27	adddird	⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( ( ( 1 − 𝑇 ) + 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) )
29	22 28	eqtr3d	⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) )
30	29	eqeq1d	⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ↔ ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) )
31	12 16 30	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ↔ ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) )
32		eqcom	⊢ ( ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ↔ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) )
33	31 32	bitrdi	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ↔ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
34	33	ralbidva	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
35	10 34	bitrd	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( 𝐴 = 𝐵 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
36	6 35	imbitrrid	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ 𝐴 = 𝐶 ) → 𝐴 = 𝐵 ) )
37	36	expd	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) → ( 𝐴 = 𝐶 → 𝐴 = 𝐵 ) ) )
38	37	impr	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → ( 𝐴 = 𝐶 → 𝐴 = 𝐵 ) )
39	38	necon3d	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → ( 𝐴 ≠ 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐶 ) )
40	39	ex	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) → ( 𝐴 ≠ 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐶 ) ) )
41	40	com23	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐴 ≠ 𝐵 → ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) → 𝐴 ≠ 𝐶 ) ) )
42	41	exp4a	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐴 ≠ 𝐵 → ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) → 𝐴 ≠ 𝐶 ) ) ) )
43	42	3imp2	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → 𝐴 ≠ 𝐶 )
44		simplr1	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
45		simplr3	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
46		eqeelen	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝐴 = 𝐶 ↔ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = 0 ) )
47	44 45 46	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → ( 𝐴 = 𝐶 ↔ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = 0 ) )
48	47	necon3bid	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → ( 𝐴 ≠ 𝐶 ↔ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ≠ 0 ) )
49	43 48	mpbid	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ≠ 0 )