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Theorem ax5seglem5

Description: Lemma for ax5seg . If B is between A and C , and A is distinct from B , then A is distinct from C . (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013)

Ref Expression
Assertion ax5seglem5 ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐴𝐵𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶𝑖 ) ) ) ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴𝑗 ) − ( 𝐶𝑗 ) ) ↑ 2 ) ≠ 0 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fveq1 ( 𝐴 = 𝐶 → ( 𝐴𝑖 ) = ( 𝐶𝑖 ) )
2 1 oveq2d ( 𝐴 = 𝐶 → ( 𝑇 · ( 𝐴𝑖 ) ) = ( 𝑇 · ( 𝐶𝑖 ) ) )
3 2 oveq2d ( 𝐴 = 𝐶 → ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐴𝑖 ) ) ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶𝑖 ) ) ) )
4 3 eqeq2d ( 𝐴 = 𝐶 → ( ( 𝐵𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐴𝑖 ) ) ) ↔ ( 𝐵𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶𝑖 ) ) ) ) )
5 4 ralbidv ( 𝐴 = 𝐶 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐴𝑖 ) ) ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶𝑖 ) ) ) ) )
6 5 biimparc ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶𝑖 ) ) ) ∧ 𝐴 = 𝐶 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐴𝑖 ) ) ) )
7 simplr1 ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
8 simplr2 ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
9 eqeefv ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝐴 = 𝐵 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴𝑖 ) = ( 𝐵𝑖 ) ) )
10 7 8 9 syl2anc ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( 𝐴 = 𝐵 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴𝑖 ) = ( 𝐵𝑖 ) ) )
11 fveecn ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴𝑖 ) ∈ ℂ )
12 7 11 sylan ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴𝑖 ) ∈ ℂ )
13 elicc01 ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ↔ ( 𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇𝑇 ≤ 1 ) )
14 13 simp1bi ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) → 𝑇 ∈ ℝ )
15 14 recnd ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) → 𝑇 ∈ ℂ )
16 15 ad2antlr ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝑇 ∈ ℂ )
17 ax-1cn 1 ∈ ℂ
18 npcan ( ( 1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( ( 1 − 𝑇 ) + 𝑇 ) = 1 )
19 17 18 mpan ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( 1 − 𝑇 ) + 𝑇 ) = 1 )
20 19 oveq1d ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( ( 1 − 𝑇 ) + 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) = ( 1 · ( 𝐴𝑖 ) ) )
21 mulid2 ( ( 𝐴𝑖 ) ∈ ℂ → ( 1 · ( 𝐴𝑖 ) ) = ( 𝐴𝑖 ) )
22 20 21 sylan9eqr ( ( ( 𝐴𝑖 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( ( ( 1 − 𝑇 ) + 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) = ( 𝐴𝑖 ) )
23 subcl ( ( 1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( 1 − 𝑇 ) ∈ ℂ )
24 17 23 mpan ( 𝑇 ∈ ℂ → ( 1 − 𝑇 ) ∈ ℂ )
25 24 adantl ( ( ( 𝐴𝑖 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( 1 − 𝑇 ) ∈ ℂ )
26 simpr ( ( ( 𝐴𝑖 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → 𝑇 ∈ ℂ )
27 simpl ( ( ( 𝐴𝑖 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( 𝐴𝑖 ) ∈ ℂ )
28 25 26 27 adddird ( ( ( 𝐴𝑖 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( ( ( 1 − 𝑇 ) + 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐴𝑖 ) ) ) )
29 22 28 eqtr3d ( ( ( 𝐴𝑖 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( 𝐴𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐴𝑖 ) ) ) )
30 29 eqeq1d ( ( ( 𝐴𝑖 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴𝑖 ) = ( 𝐵𝑖 ) ↔ ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐴𝑖 ) ) ) = ( 𝐵𝑖 ) ) )
31 12 16 30 syl2anc ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐴𝑖 ) = ( 𝐵𝑖 ) ↔ ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐴𝑖 ) ) ) = ( 𝐵𝑖 ) ) )
32 eqcom ( ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐴𝑖 ) ) ) = ( 𝐵𝑖 ) ↔ ( 𝐵𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐴𝑖 ) ) ) )
33 31 32 bitrdi ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐴𝑖 ) = ( 𝐵𝑖 ) ↔ ( 𝐵𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐴𝑖 ) ) ) ) )
34 33 ralbidva ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴𝑖 ) = ( 𝐵𝑖 ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐴𝑖 ) ) ) ) )
35 10 34 bitrd ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( 𝐴 = 𝐵 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐴𝑖 ) ) ) ) )
36 6 35 syl5ibr ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶𝑖 ) ) ) ∧ 𝐴 = 𝐶 ) → 𝐴 = 𝐵 ) )
37 36 expd ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶𝑖 ) ) ) → ( 𝐴 = 𝐶𝐴 = 𝐵 ) ) )
38 37 impr ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶𝑖 ) ) ) ) ) → ( 𝐴 = 𝐶𝐴 = 𝐵 ) )
39 38 necon3d ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶𝑖 ) ) ) ) ) → ( 𝐴𝐵𝐴𝐶 ) )
40 39 ex ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶𝑖 ) ) ) ) → ( 𝐴𝐵𝐴𝐶 ) ) )
41 40 com23 ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐴𝐵 → ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶𝑖 ) ) ) ) → 𝐴𝐶 ) ) )
42 41 exp4a ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐴𝐵 → ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶𝑖 ) ) ) → 𝐴𝐶 ) ) ) )
43 42 3imp2 ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐴𝐵𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶𝑖 ) ) ) ) ) → 𝐴𝐶 )
44 simplr1 ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐴𝐵𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶𝑖 ) ) ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
45 simplr3 ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐴𝐵𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶𝑖 ) ) ) ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
46 eqeelen ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝐴 = 𝐶 ↔ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴𝑗 ) − ( 𝐶𝑗 ) ) ↑ 2 ) = 0 ) )
47 44 45 46 syl2anc ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐴𝐵𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶𝑖 ) ) ) ) ) → ( 𝐴 = 𝐶 ↔ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴𝑗 ) − ( 𝐶𝑗 ) ) ↑ 2 ) = 0 ) )
48 47 necon3bid ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐴𝐵𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶𝑖 ) ) ) ) ) → ( 𝐴𝐶 ↔ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴𝑗 ) − ( 𝐶𝑗 ) ) ↑ 2 ) ≠ 0 ) )
49 43 48 mpbid ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐴𝐵𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶𝑖 ) ) ) ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴𝑗 ) − ( 𝐶𝑗 ) ) ↑ 2 ) ≠ 0 )