Theorem ax5seg

Description: The five segment axiom. Take two triangles A D C and E H G , a point B on A C , and a point F on E G . If all corresponding line segments except for C D and G H are congruent, then so are C D and G H . Axiom A5 of Schwabhauser p. 11. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013)

	Ref	Expression
Assertion	ax5seg	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐺 , 𝐻 ⟩ ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin )
2		simpl21	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
3		fveere	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ )
4	2 3	sylancom	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ )
5		simpl22	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
6		fveere	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ )
7	5 6	sylancom	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ )
8	4 7	resubcld	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ) ∈ ℝ )
9	8	resqcld	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ )
10	1 9	fsumrecl	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ )
11	10	recnd	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℂ )
12	11	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℂ )
13		simpl32	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
14		fveere	⊢ ( ( 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ )
15	13 14	sylancom	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ )
16		simpl33	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
17		fveere	⊢ ( ( 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ )
18	16 17	sylancom	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ )
19	15 18	resubcld	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ∈ ℝ )
20	19	resqcld	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ )
21	1 20	fsumrecl	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ )
22	21	recnd	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℂ )
23	22	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℂ )
24		elicc01	⊢ ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ↔ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 1 ) )
25	24	simp1bi	⊢ ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) → 𝑡 ∈ ℝ )
26	25	recnd	⊢ ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) → 𝑡 ∈ ℂ )
27	26	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ℂ )
28	27	3ad2ant1	⊢ ( ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → 𝑡 ∈ ℂ )
29	28	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → 𝑡 ∈ ℂ )
30		simpl11	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ )
31		simp12	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
32		simp13	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
33		simp21	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
34	31 32 33	3jca	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) )
35	34	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) )
36		simprrl	⊢ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) )
37	36	3ad2ant1	⊢ ( ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) )
38	37	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) )
39		simp1rl	⊢ ( ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → 𝐴 ≠ 𝐵 )
40	39	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → 𝐴 ≠ 𝐵 )
41		ax5seglem4	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → 𝑡 ≠ 0 )
42	30 35 38 40 41	syl211anc	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → 𝑡 ≠ 0 )
43		simpr3r	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ )
44		simpl13	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
45		simpl22	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
46		simpl31	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
47		simpl33	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
48		brcgr	⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ↔ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) )
49	44 45 46 47 48	syl22anc	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → ( ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ↔ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) )
50	43 49	mpbid	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) )
51		simp23	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
52		simp31	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
53		simp32	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
54	51 52 53	3jca	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) )
55	34 54	jca	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) )
56	55	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) )
57		simpr1l	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) )
58		simprrr	⊢ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) )
59	58	3ad2ant1	⊢ ( ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) )
60	59	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) )
61	38 60	jca	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
62		simpr2l	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ )
63		simpr2r	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ )
64		ax5seglem6	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ) → 𝑡 = 𝑠 )
65	30 56 40 57 61 62 63 64	syl232anc	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → 𝑡 = 𝑠 )
66	65	oveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → ( 1 − 𝑡 ) = ( 1 − 𝑠 ) )
67	54	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → ( 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) )
68		ax5seglem3	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) )
69	30 35 67 57 61 62 63 68	syl322anc	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) )
70	65 69	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → ( 𝑡 · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) = ( 𝑠 · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) )
71		simpr3l	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ )
72		simpl12	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
73		simpl23	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
74		brcgr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ↔ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) )
75	72 45 73 47 74	syl22anc	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ↔ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) )
76	71 75	mpbid	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) )
77	70 76	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → ( ( 𝑡 · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) − Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( 𝑠 · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) − Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) )
78	66 77	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → ( ( 1 − 𝑡 ) · ( ( 𝑡 · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) − Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) = ( ( 1 − 𝑠 ) · ( ( 𝑠 · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) − Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) )
79	50 78	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) + ( ( 1 − 𝑡 ) · ( ( 𝑡 · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) − Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) = ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) + ( ( 1 − 𝑠 ) · ( ( 𝑠 · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) − Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) )
80	31 32	jca	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) )
81		simp22	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
82	80 33 81	jca32	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) )
83	82	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) )
84		simp1ll	⊢ ( ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) )
85	84	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) )
86		ax5seglem9	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → ( 𝑡 · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) = ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) + ( ( 1 − 𝑡 ) · ( ( 𝑡 · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) − Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) )
87	30 83 85 38 86	syl22anc	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → ( 𝑡 · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) = ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) + ( ( 1 − 𝑡 ) · ( ( 𝑡 · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) − Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) )
88		3simpc	⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) )
89	88	3ad2ant3	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) )
90	51 52 89	jca31	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) )
91	90	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → ( ( 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) )
92		simp1lr	⊢ ( ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) )
93	92	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) )
94		ax5seglem9	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → ( 𝑠 · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) = ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) + ( ( 1 − 𝑠 ) · ( ( 𝑠 · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) − Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) )
95	30 91 93 60 94	syl22anc	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → ( 𝑠 · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) = ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) + ( ( 1 − 𝑠 ) · ( ( 𝑠 · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) − Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) )
96	79 87 95	3eqtr4d	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → ( 𝑡 · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) = ( 𝑠 · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) )
97	65	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → ( 𝑡 · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) = ( 𝑠 · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) )
98	96 97	eqtr4d	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → ( 𝑡 · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) = ( 𝑡 · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) )
99	12 23 29 42 98	mulcanad	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) )
100	99	3exp2	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) → ( ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) → ( ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) )
101	100	expd	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → ( ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) → ( ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) ) )
102	101	rexlimdvv	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∃ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → ( ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) → ( ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) )
103	102	3impd	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∃ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) )
104		brbtwn	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ↔ ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
105	32 31 33 104	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ↔ ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
106		brbtwn	⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝐹 Btwn ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ↔ ∃ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
107	52 51 53 106	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐹 Btwn ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ↔ ∃ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
108	105 107	anbi12d	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ) ↔ ( ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∃ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) )
109		reeanv	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∃ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∃ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
110	108 109	bitr4di	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∃ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) )
111	110	anbi2d	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ) ) ↔ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∃ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) )
112		3anass	⊢ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ) ↔ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ) ) )
113		r19.42v	⊢ ( ∃ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ∃ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) )
114	113	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∃ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ∃ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) )
115		r19.42v	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ∃ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∃ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) )
116	114 115	bitri	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∃ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∃ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) )
117	111 112 116	3bitr4g	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∃ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) )
118	117	3anbi1d	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ↔ ( ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∃ 𝑠 ∈ ( 0 [,] 1 ) ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑠 ) · ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑠 · ( 𝐺 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) ) )
119		simp33	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
120		brcgr	⊢ ( ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐺 , 𝐻 ⟩ ↔ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) )
121	33 81 53 119 120	syl22anc	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐺 , 𝐻 ⟩ ↔ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) )
122	103 118 121	3imtr4d	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐻 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨ 𝐸 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐺 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐻 ⟩ ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐹 , 𝐻 ⟩ ) ) → ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐺 , 𝐻 ⟩ ) )